Question

Sei (G,e,*) eine endliche Gruppe das heisst eine Gruppe mit endlicher zugrunde liegender Menge G.Sei a ∈G.

a) Zeigen sie dass es n∈N gibt sodass a^n = e
Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, dass die Abbildung f: N -> G,n ↦a^n nicht injektiv ist.
Verwenden sie anschließend das a^n*a^m=a^{n+m} für alle m,n ∈ Z
b)Folgern Sie aus Aufgabe 5 (b), dass es ein minimales n∈N mit der Eigenschaft aus (a) gibt. Dieses n bezeichnen wir als Ordnung Ord(a) von a.

c) Bestimmen Sie die Ordnungen aller Elemente in Z/4Z sowie aller Elemente in (F4,+,0).
Bestimmen Sie außerdem die Ordnung des Elements a in (F4\{0},1,·)

d) Zeigen Sie, dass Ord(a^-1)=Ord(a) sowie Ord(b*a*b^-1)=Ord(a) für alle b ∈ G

Kopf Kaputt Affe tot HILFE!

Comments

Folgern Sie aus Aufgabe 5 (b)  ???

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Ihr werdet die Prüfung beim Prof. Böckle nicht bestehen, wenn ihr euch jede Frage im Internet beantworten lasst. Wie wäre es denn mit eigenen Ideen? Irgendwelche Ansätze auf denen man aufbauen kann?

Answer 1

a) Zeigen sie dass es n∈N gibt sodass aⁿ = e
Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, dass die Abbildung f: N -> G,n ↦aⁿ nicht injektiv ist.
Verwenden sie anschließend das aⁿ*a^m=a^n+m für alle m,n ∈ Z

Wäre f injektiv, so gäbe es zu jedem n ∈ N ein anderes Bildobjekt. Diese Bilder liegen aber alle

in G, und da dort nur endlich viele verschiedene Elemente sind, müssen welche gleich sein.

D.h. Es gibt n und m aus N mit  aⁿ = a^m  und da n ungleich m ist, muss einer von beiden

der größere sein (sagen wir mal o.B.d.A  n>m)   also n = m+k und damit

aⁿ = a^n+k  =aⁿ * a^k   und da aⁿ  aus G besitzt es ein Inverses b also gilt  

b* aⁿ  = b * (aⁿ * a^k ) = (  b * aⁿ )* a^k    also

e  = e* a^k 

e = a^k   Damit ist a) erledigt  5b sagt mir jetzt nix.

Comments

2 fragen dazu

1. meinst du aⁿ=a^m+k=a^m*a^{k ?}

und 2. muss nicht vorher geklärt werden ob b überhaupt ein Produkt von a^n' ist? oder kann man das einfach voraussetzen

Answer 2

Du sagst, Kopf kaputt. Hast du schon mal gehört, was eine Gruppe ist?
   Wenn ich dich jetzt mal ganz frech frage; was ist ===> Gruppenteorie? Wüsstest du darauf eine Antwort? Gruppenteorie ist die Frage, welche ENDLICHEN Gruppen kann es denn überhaupt geben? Das heißt die Matematik hat sich der Aufgabe unterzogen, für jede natürliche Zahl n sämtliche Gruppen aufzuzählen ( Ich hab noch erlebt, wie dieses Problem gelöst wurde. ) ( Übrigens; die Anzahl Elemente einer Gruppe G nennt man ihre Ordnung ° G ) Das beste Standardwerk zu dem Tema stammt aus Russland 1940; leider sind mir die Verfasser entfallen ( Es liegt längst in deutscher Übersetzung vor. ) Frag mal deinen Assistenten oder diesen Prof Böckle; du musst unbedingt lesen. Wo ich allerdings nix für dich tun kann: Wenn du ein Hund sein solltest, den man zur Jagd tragen muss.
   Ich teste dich jetzt mal so locker ein bissele. Ist dir bekannt, dass die allgemeinste Gruppe nicht kommutativ ist? Denk an die Transformationen eines ===> Rubikwürfels. Die Forderung der Kommutativität wurde bewusst aufgegeben, um intressantere Fälle zu bekommen.
    Oder du folgst einem Vorschlag von ===> Werner Martiensen. Du gehst jetzt her und nimmst einen Spielwürfel vom Monopoly. Daumen, Zeige-und Mittelfinger der rechten Hand mögen ( in dieser Reihenfolge ; Rechte-Hand-Regel ) ein Koordinatenkreuz ( x , y , z ) definieren. Z.B. unter einer Drehung um den winkel ß um die z-Achse verstehe ich die Rechte-Faust-Regel. Daumen in Richtung der z-Achse; die zur Faust gekrümmten Finger der rechten Hand ergeben dann den Drehsinn für ß > 0 . Genau so für die beiden übrigen Achsen. Solltest du unsicher sein, wie ich das meine. Lass es dir von deinem Assistenten zeigen.
   Grundstellung: die 6 zeigt nach Vorne zu dir. Du führst eine Drehung um 90 ° um die z-Achse aus und anschließend eine Vierteldrehung um die x-Achse; also x z ( Matrizen wirken immer von Rechts nach Links. ) Welche Augenzahl zeigt nach Vorne? Diese wird protokolliert. Anschließend wieder die 6 nach Vorne; was ergibt sich nach Anwendung von z x ? Ganz verblüffend; die Reihenfolge der Drehungen ist entsc heidend.
    Und eben hast du verstanden, warum die allgemeinste Gruppe nicht kommutativ sein soll.
   Ein schönes Beispiel fand ich in einem Physikbuch. Was ist die Symmetriegruppe eines Quadrats? Ihre Ordnung ist 8 .  Und zwar hast du die identische Transformation, 3 Drehungen so wie jeweils eine Spiegelung um eine Mittelparallele so wie eine Raumdiagonale. Das Quadrat wird beschriftet ABCD . Wie liegen die vier Ecken nach Anwendung einer Symmetrietransformation; erstelle die ===> Gruppentafel. Wenn du es nicht findest: Frag deinen Assistenten, in welchem schlauen Buch dass es steht.

    Mein Doktorvater

    " Sie können nicht abstrahieren, wenn Sie nichts haben, WOVON Sie abstrahieren können. "

    Dies sind also Beispiele für Gruppen von mäßig überschaubarem Komplexitätsgrad. Mal eine Frage zur Gruppenteorie. Ist dir klar, dass eszu jeder Gruppenordnung n zu Mindest die ===> zyklische Gruppe gibt ( Diese ist immer kommutativ; warum? )
   Und jetzt die Umkehrung; für p = Primzahlordnung kann es außer dieser zyklischen KEINE WEITERE GEBEN . Die Antwort, warum das so ist, folgt quasi aus obiger Aufgabe; denk ruhig mal selber bissele nach. ( Allerdings musst du dazu ein weiteres Teilerteorem recherchieren; alle Texte kennen es. )
   Euer Prof Böckle scheint übrigens seine Pappenheimer ganz gut zu kennen. Ihr schreibt alle in der Vorlesung mit, ohne auch nur die wesentlichsten Grundlagen zu verstehen; dies hier ist nämlich eine echte Verständnisfrage. Was wird hier ausgesagt? Sei G eine endliche Gruppe und a nicht das neutrale Element. Jetzt bilde mal die Liste der Potenzen



     a ^ 0 := e ; a ^ 1 ; a ² ; a ³ ; a ^ 4 ; . . .  ;  a ^ m = e        ( 1 )


   
    D.h. nach Durchlaufen einer Periode der Länge m bretterst du wieder auf das neutrale Element; hättest du ' s gewusst? ( m ist allerdings eine Funktion m = m ( a ) ; denk dir ruhig mal selber paar Beiospiele aus. )
   Ja die Behauptung geht sogar noch weiter. Diese Potenzen in ( 1 ) bilden ihrerseits eine Untergruppe von G , die sog. " von a erzeugte Untergruppe " ( solltest du beweisen )
   Die Beweisidee für ( 1 ) war: |N ist eine unendliche Menge, G allerdings nur endlich. |N ist also " größer " als G . Wohl kann eine Abbildung von einer großen in die kleine  Menge surjektiv sein ( englisch " on to " ) , aber niemals treu.
   ( Hier ich kann auch Deutsch sprechen; nicht nur ihr mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Es heißt nicht injektiv, sondern treu. )
  Sei also g € G ein solches element mit zwei Urbildern m und n :



          m  <  n       (  2a  )
       
   g  =  a  ^  m  =  a  ^  n    |   *  a  ^ ( - m )         (  2b  )

       a  ^  (  n  -  m  )  =  e     (  2c  )

Comments

nicht so frech

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Najaa; im Gegentum zu allen bisherigen Fragen, die als Versdtändnisfragen durch gehen können, hat diese Frage schon was Aufreizendes. Sie wurde denn ja auch kommentiert<< Ihr werdet die Prüfung beim Prof. Böckle nicht bestehen, << wenn ihr euch jede Frage im Internet beantworten lasst. << Wie wäre es denn mit eigenen Ideen? << Irgendwelche Ansätze auf denen man aufbauen kann?Meine Antwort hat schon einen Preis" Geh in dich; kehre um. "

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Also ich muss sagen: Die Antwort hat mir deutlich mehr gebracht um jetzt mal einige grundlegende mathematische Gedankengänge nachvollziehen zu können als so mancher Tafelanschrieb aus einer Vorlesung.

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Deshalb sage ich ja. Lies diesen Russen; viel Prosa und kaum Formeln. Noch in diesem altertümlichen Stil gehalten.
   Ich weiß ja auch nicht, was ihr für ein Laden seid. Bei uns in Frankfurt ( nicht gut, aber besser als sein Ruf )

hatten wir diese Seminarbücherei. Wer Kummer hatte, brauchte nur unter dem Karteistichwort " Gruppenteorie " nachsehen ( oder wonach ihn gelüstete. ) Du konntest sicher sein, zu jedem derartigen Stichwort so an die hundert Titel zu finden. Dann gilt es eine Vorauswahl zu treffen; bei vielen Disziplinen kommt es auch darauf an zu erkennen, dass manche Sachverhalte bei Autor B schlecht erklärt sind, die bei A stark rauskommen.

Ganz allgemein kranken ja moderne Matevorlesungen an ihrer Exaktheit; die tun grad so, als hätten sie sich den ===> Mr. Spock von der Enterprise zum Vorbild genommen. Du kriegst gesagt, DASS sich eine Sache so und so verhält, nicht WARUM . Nur mal ein Beispiel zu geben.

Kommutativität ist in den Gruppenaxiomen nicht vorgesehen; deshalb wird sie nicht eigens erwähnt. Völlig exakt. Es motiviert dich aber auch nicht weiter. Hingegen kannst du an Beispielen sehr wohl erkennen, dass es nützlich sein könnte, auf Kommutativität zu verzichten.

Besonders witzig z.B. dies. Es gibt ja die Frage nach der ===> Auflösbarkeit einer Gruppe; ein Problem der Art kompliziert, dass ich gar nicht abzuschätzen vermag, ob dich das in einem normalen Curriculum erwartet ( Wir haben es eben mal gestreift, weil wir einen guten Professor hatten. Aber in AGULA hast du für so ein abseitiges Zeugs eben auch nicht ewig Zeit. )

Und jetzt kommt der Witz.  Mir liegt ein Algebraskript vor, das arbeitet eben nicht nach dem ermüdenden Spockverfahren " Definition - Satz - Beweis "  Sondern er motiviert

" WEIL die meisten Gruppen nicht kommutativ sind, sucht man nach Strategien, sie aus möglichst kommutativen Bestandteilen zusammen zu setzen. Und eine jener Strategien ist eben die Auflösung von Gruppen. "

Wie du siehst, eine rein psychologische Betrachtung, um den Leser bei Laune zu halten. Es kommt ganz entscheidend darauf an, dass dir die Strukturen aus der Vorlesung als " holistische Entitäten " begegnen.

Wenn du reelle Zahlen benutzt, greifst du ja auch nicht zurück auf ihre Definition als ===> Dedekindsche Schnitte . . .

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"Ganz allgemein kranken ja moderne Matevorlesungen an ihrer Exaktheit; die tun grad so, als hätten sie sich den ===> Mr. Spock von der Enterprise zum Vorbild genommen. Du kriegst gesagt, DASS sich eine Sache so und so verhält, nicht WARUM . Nur mal ein Beispiel zu geben. ..."

Ich weiss auch noch eins: Differentiale! Es ist heute unschicklich zu erklaeren, was \(dx\) und \(dy\) eigentlich ausdruecken sollen und warum man \(\int f(x)\,dx\) schreibt. Im Ergebnis wissen die Opfer dieses Vorgehens nicht mehr, was sie tun. Sie koennen nicht mal die einfachsten geometrischen Aufgaben loesen (wofuer die Integralrechnung ja mal erfunden wurde) oder sie sind total verwirrt, wenn sie eine Differentialgleichung per Variablentrennung loesen sollen: Voodoo-Zauber.

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  Dein Beispiel ist ganz hervor ragend gewählt; besonders das mit der Variablentrennung. Ich arbeite auch lieber mit dem Courant-Hilbert; so 1940 muss das gewesen sein. Mit älteren Texten kannst du viel besser lernen.
   Übrigens - wenn du mal so richtig von Herzen lachen willst - ich " konnt nicht mehr " Mir liegt vor eine Sammlung von Parodien auf Goethes Faust. Mit die bekannteste: Alfred Polgar ( 1908 )
   Ein Germanistikstudent und seine Freundin sind verzweifelt. Sie wollen heiraten, und dazu braucht er natürlich den Studienabschluss. Der Prüfer hingegen steht auf dem Standpunkt, Goethe sei " ein Heiligtum " Zu dem wenn du in die Prüfung gehst, wirst du nix gefragt als die Jahreszahlen von Goethes sämtlichen Werken und musst sie alle wissen . . .  Sie hat sich bereit erklärt, ihm beim Lernen zu helfen.
    Da taucht mit Blitz und Donner der alte Geheimrat höchst persönlich auf. Als Kavalier ist er natürlich der Dame gefällig; er erklärt sich bereit, verkleidet an Stelle des Kandidaten in die Prüfung zu gehen. Goethe erinnert sich an sein eigenes Leben; da bleibt es nicht aus, dass er auch mal paar Jahreszahlen durcheinander bringt oder Nebensächlichkeiten auswalzt wie z.B. seine Wohnungseinrichtung, die den Prüfer gar nicht intressieren " Was wissen Sie über den ===> Tasso? "" Hier das war doch auch so'n Luftikus gewese, wo als die Nas in die Wolke gereckt hat statt Acht zu passe, wo sei Füß hintrete ... "Der Prof ist natürlich entsetzt; lies seine blasierte, System konforme Antwort. Aber nicht um Polgar war es mir eigentlich zu tun; Ende des 19. Jhs. lebte ===> Curd Lasswitz,  seines Zeichens Ingenieur und Mathelehrer, der als SF-Autor hervor trat. Und von dem stammt die Faustparodie " Prost " ( 1883 ) Prost ist ein Bier trinkender Student; er hat die Hausaufgabe, eine DGL zu integrieren und Stetigkeit der Lösung zu zeigen. Die Lachmuskeln werden vor allem dadurch gereizt, dass du schon die ganzen Merkmale des modernen Mathestudiums präsentiert kriegst. Prost lässt sich das Bier auf die Bude kommen, um nicht durch die Kommilitonen von der Integration abgelenkt zu werden, die morgen fertig sein muss. Er beginnt das Komasaufen; er ist schon nicht mehr recht bei Sinnen, als mit einem Male ===> Mefisto auf den Plan tritt. Er werde ihm die geforderte DGL integrieren, verlange aber im Gegenzug Prosts unsterbliche Seele . . .  Prost fällt ins Koma. Bei Goethe ist Faust doch der ===> Famulus Wagner bei gesellt; und in dem Marionettenspiel von Fausts Verdammnis und Höllenfahrt ist es der Kasper höchst persönlich. Dieser Tradition getreu - und deshalb erwähne ich es eigentlich - lässt Lasswitz, während Prost seinen Rausch aus schläft, den " Geist des Differenzials dx " auftreten. Regieanweisung; dx sei ein Gespenst, welches ein weißes Bettlaken trägt mit der deutlich sichtbaren Aufschrift " dx " Im Wesentlichen führt sich dieser dx auf wie ein Harlekin, ist aber, wenn mich meine Erinnerung nicht trügt, auch eine Sprechrolle. Der dx zieht sich wieder zurück; da tritt Mefisto an eine Schultafel, die sich in dem Raum befindet und beweist die geforderte Stetigkeit mit den Worten" War doch eigentlich gar nicht schwer. " Doch im Grunde seines Herzens ist Mefisto enttäuscht; Prost ist der Art benebelt, dass an den Abschluss eines Paktes nicht zu denken ist. Darum wischt Mefisto die Tafel wieder sauber und trollt sich. Goethe folgend, lässt Lasswitz die Story gut ausgehen. Am nächsten Morgen erwacht Prost frisch, munter und gestärkt. War alles am Ende doch nur ein böser Traum? Die Moral des teutschen Jünglings bleibt eindeutig Sieger; Prost nimmt sich vor, die aufgabe ganz ohne jenseitige Mächte zu lösen und - schafft es auch . . . Aber ich hab was für dich. DIFFERENZIALE EXISTIEREN WIRKLICH; sie sind längst rehabilitiert. Das Genie, das dies 1977 nach nunmehr 300 Jahren in die Wege leitete, heißt ===> Edward Nelson. Seine Teorie heißt ( NSA ; IST ) ( NSA = Nonstandard Analysis ) Ich empfehle dir das Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley, New York; dort auch alle weiteren Zitate so wie Nelsons original Paper. Robert etwa über die Kettenregel " You can now prove it as you always wanted to. "Also im Wesentlichen durch Erweitern mit Differenzialen ( Klein bissele mehr ist es schon noch. ) ( dy/dx ) = ( dy/dz ) ( dz/dx )und einer Trennung der Veränderlichen wird wohl jetzt auch nichts mehr im Wege stehen. Die Buchstaben IST stehen hierbei für die drei Axiome, welche Nelsons Teorie zu Grunde liegen. Eine nähere Beschäftigung mit diesem Werk wird dir enthüllen, dass Weierstrass und Konsorten gar nicht anders komnnten; sicher kennst auch du dieses Schmähwort von der " Epsilontik " Der Preis, wenn du weg willst von dem Epsilon und der eingebauten Sinnlosigkeit, ist hoch. Epsilontik fordert doch von dir, dass du für jedes Problem eigens eine neue Ungleichung erfindest. Normale Matematiker stellen ihr Zeugs zur Schau; und wenn du es halt nicht verstehst, hast du eben Pech gehabt. Nicht so Nelson; der musste immer wieder eine Erfahrung machen. Wenn du anfängst, seine Teorie zu lernen, stammelst du seine Syntax wie ein kleines Kind seine Muttersprache. D.h. du produzierst lauter Sinn lose bzw. falsche Sätze. Und das gilt auch noch für die größten Koryphäen auf dem Gebiete der Matematik; kein Kleinkind hat je als Genie angefangen . . . Mir selbst ist das erst vor einem halben Jahr bei einem Konkurrenzportal passiert; es ging um die Debatte um stetige Funktionen ( Nelson macht das alles viel durchsichtiger. ) Prompt holte mich eine Verständnisfrage ein. Die Frage des Users besagt natürlich in erster Linie, dass ER eine Grundaussage der Nelsonteorie missverstanden hatte. Und doch; als ich ernsthaft über seine Einwände nachdachte, bumms, hatte ich ein neues Lemma über stetige Funktionen entdeckt . . . Doch fangen wir vorne an. Warst du schon mal im matematischen Kolloquium, wo die ganzen gestandenen Profs immer lange Gesichter machen? Da tritt dann ein Vortragsredner auf und präsentiert ein Gebiet, von dem keiner der Anwesenden je etwas gehört hat. ( Mit ===> Gert Faltings zu telefonieren, ist keine Kunst; auf Anfrage bestätigte er mir, dass er diesen Nelson " weder kenne noch kennen zu lernen wünsche " ) Und der Redner präsentiert paar für sein Gebiet typische Beweise, lässt aber auch sein eigenes Genie nicht zu kurz kommen. Aber ich schicke jetzt erst mal ab; ich hatte nämlich einen Systemabsturz. Und Wordfiles übernimmt dieses Forum nicht; da kommt immer jede Menge Binärcode rein.