Eindeutigkeit ist leicht:
(1) Sei x maximales Element von X , dann gilt für alle a∈X x≥a
(2) Sei y maximales Element von X , dann gilt für alle a∈X y≥a
wegen (1) also auch x≥y und wegen (2 ) y≥x
wegen der Antisymmetrie der Ordnung also x=y .
Den ersten Teil würde ich mittels vollst. Induktion über die Anzahl der
Elemente von X versuchen.
Sei |X| =1 , also X hat nur ein Element, dann gilt wegen der Reflexivität der Ordnung x≥x,
also für alle Elemente y von X wie gewünscht x≥y.
Hat nun für ein n∈ℕ jede n-elementige Teilmenge von K ein max. El.
und sei X eine (n+1)--elementige Teilmenge von K.
Sei a∈X, dann ist X \ {a} eine n-elementige Teilmenge von K und
hat somit ein maximales Element m. (#)
Wegen der Totalität der Ordnung gibt es nur 2 Fälle:
1. Fall m ≥ a. Dann ist m auch maximales El. von X ; denn für die
y ∈ X \ {a} gilt ja m ≥ y wegen # und m ≥ a wegen Fallannahme.
2. Fall a ≥ m. Dann ist a maximales El. von X; denn
für alle y ∈ X \ {a} gilt ja m ≥ y wegen #
und wegen des Falles a ≥ m. und der Transitivität der
Ordnung gilt also für alle y ∈ X \ {a} dann a ≥ y
Und a ≥ a wegen der Reflexivität der Ordnung.
q.e.d
