Sei (G, *) eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, dass es ein n ∈ ℕ so gibt, dass |G| = 2^n ist

Question

Aufgabe:

Sei (G, ∗) eine endliche Gruppe, so dass für alle x ∈ G gilt x ∗ x = e. Zeigen Sie, dass es
ein n ∈ ℕ so gibt, dass |G| = 2^n ist.

Problem/Ansatz:

Man kann ja für n=1 einsetzen, also ist |G| = 2^1 = 2
Heißt man hat eine Gruppe der Ordnung 2. Eine Kandidat für solch eine Gruppe wäre Z2 mit

+	0	1
0	0	1
1	1	0

und

·	1	2
1	1	2
2	2	1

Die Gruppe ist endlich und für alle x ∈ G gilt x ∗ x = e.

Hab ich damit die Frage beantwortet oder muss ich an irgendeiner Stelle noch präziser sein? Bzw. muss ich noch etwas zeigen/beweisen?

Comments

Der Satz von Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cauchy_(Gruppentheorie) könnte hilfreich sein, denn außer \(e\) hat jedes Gruppenelement die Ordnung 2.

Answer 1

Hallo,

leider hast du damit die Frage noch nicht beantwortet. Du hast ein Beispiel für eine Gruppe gefunden, die die gesuchte Eigenschaft erfüllt und Gruppenordnung 2 hat. Es gibt z.B. auch Gruppen der Ordnung 4 mit dieser Eigenschaft (du kannst ja mal versuchen eine solche Gruppe aufzuschreiben). Die Frage ist aber: Gegeben eine beliebige Gruppe \((G,\cdot)\) mit der Eigenschaft \(x\cdot x=e\) für jedes \(x\in G\): zeigen Sie dass die Gruppenordnung eine Zweierpotenz ist (d.h. es gibt ein n mit \(|G|=2^n\)). Ich hoffe das hat geholfen um erstmal die Frage zu verstehen.

Nun zur Antwort: Mir fällt ein relativ kurzer Beweis ein, der die Sätze von Sylow verwendet. Dazu sollte man sich überlegen, warum Gruppen ungerader Ordnung die Eigenschaft \(x\cdot x=e\) für jedes \(x\in G\) nicht erfüllen können (1).
Dann muss man nur noch den passenden Sylow-Satz anwenden.

Du kannst ja mal probieren (1) zu zeigen oder dir überlegen wie man mit (1) auf die gewünschte Aussage kommt.

Falls du die Sylow-Sätze nicht kennst habe ich im Moment leider auch keinen Ansatz.

LG Dojima

Comments

Den Sylow Satz kenne ich nicht.
Ich hätte da noch eine Frage.

zeigen Sie dass die Gruppenordnung eine Zweierpotenz ist

Es ist ja "Zeigen Sie, dass es
ein n ∈ ℕ so gibt, dass |G| = 2n ist."
Die Betonung liegt auf "ein".
Ein n ∈ ℕ, nämlich n=1, habe ich aber gezeigt.

es gibt z.B. auch Gruppen der Ordnung 4 mit dieser Eigenschaft (du kannst ja mal versuchen eine solche Gruppe aufzuschreiben).

Die kleinsche Vierergruppe wäre so ein Kandidat mit n=2 für n ∈ ℕ. Könnte ich auch zeigen und damit wäre ja die Antwort auf die Betonung "ein" wieder gegeben.
Oder übersehe ich da was ganz großes?

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Es ist ja "Zeigen Sie, dass es
ein n ∈ ℕ so gibt, dass |G| = 2n ist."
Die Betonung liegt auf "ein".

Das n muss aber zu G passen. Und G ist nahezu beliebig, es muss nur endlich sein und x*x=e für alle x gelten. Da kannst du nicht einfach eine Gruppe als Beispiel hinschreiben.

Es gibt neben deinen vorgeschlagenen Gruppen noch weitere für die dann n=1,2 nicht mehr passt.

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Also die Klein'sche Vierergruppe ist wie du gesagt hast ein weiteres Beispiel einer solchen Gruppe, das erstmal vorweg.

Ich versuche noch einmal die Aufgabe umzuformulieren, damit der Unterschied zu dem klar wird, was du versuchst zu machen:

\((G,\cdot)\) ist eine Gruppe über die wir erstmal nichts wissen, außer dass sie endlich ist. Nun bekommen wir noch die Information, dass wenn wir ein beliebiges Element der Gruppe nehmen und mit sich selber multiplizieren erhalten wir immer das neutrale Element der Gruppe (also \(\forall x\in G:\,\, x\cdot x=e\)). Man könnte auch sagen jedes Element in G hat als Inverses sich selbst. Das ist alles was wir über die Gruppe wissen und nur daraus sollst du folgern, dass die Gruppenordnung eine Zweierpotenz ist.

Eine beliebige Gruppe heißt also nicht, dass du dir eine Gruppe aussuchen darfst, sondern das genaue Gegenteil: Was du im Folgenden machst muss für jede Gruppe gelten.

Du hast bis jetzt gesagt: WENN die Gruppe \(\mathbb{Z}2\) ist, dann gibt es so ein n (n=1). WENN die Gruppe die Klein'sche Vierergruppe ist, dann gibt es so ein n (n=2). Über alle anderen Gruppen, die auch diese Eigenschaft erfüllen hast du noch nichts gesagt.

Zusammengefasst: Du hast eine Gruppe \((G,\cdot)\) von der du nur weißt, dass die endlich ist und \(\forall x\in G:\,\, x\cdot x=e\). Und nur daraus sollst du schließen, dass es ein n gibt mit \(|G|=2^n\).

Ich hoffe das hilft, falls du immer noch Probleme hast die Aufgabe zu verstehen, kann ich gerne weiter versuchen dir zu helfen.

Schade, dass du die Sylow Sätze nicht kennst, wenn ich die Zeit habe kann ich mal über eine andere Lösung nachdenken. Ich schreibe den Satz den ich meinte trotzdem nochmal hin, falls du ihn nur nicht unter diesem Namen kennst:

Sei \(G\) eine endliche Gruppe mit \( |G|=p^am\) wobei \(p\) eine Primzahl ist und p teilt m nicht. Dann gibt es eine Untergruppe von G der Ordnung \(p^a\).

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Danke für die Erklärung und Hilfe, ich habe es jetzt verstanden. War nur bisschen wegen der Wortwahl bei der Aufgabe verwirrt.