Endliche Gruppe beweisen: Es gibt ein n, so dass x^n = 1 , insbesondere...

Question

ich habe gerade mein Studium begonnen und ich habe normalerweise keine starke Startschwierigkeiten mit der Mathematik, aber ich kann nicht meine letzte Aufgabe von die Übungen lösen, nämlich Aufgabe 4. Ich muss beweise, dass es zu jedem x ∈ G ein n ∈ ℕ mit n>0 und xⁿ = 1 gibt.

Wäre nett, wenn mir jemand mit das Antwort hilfen könnte.

Comments

Sitze auch gerade dran :D Grüße.

Answer 1

Sei x aus G.  Wenn x=1 ist, dann bist du fertig, dann ist n = 1

Betrachte die Potenezen von x, also x^1   x^2   x^3  etc.

Da G nur endlich viele Elemente hat , gibt es irgendwann 2 Potenzen

die gleich sind etwa  x^k = x^s

Es sei oBdA s≥k    wenn k=0 ist, bist du fertig, dann ist 1 = x^s

Ist k<0, dann multipliziere ( von links ) mit dem Inversen von x, dann ist

                      x ^k-1 = x ^s-1          

wenn jetzt k=0 ist, s.o..

Nach weiteren k-1 Schritten dieser Art hast

                          1 = x ^s-k

Also ist s-k das gesuchte n.          q.e.d.

             

Comments

Danke schön! Kannst du mir bitte erklären diese weiteren k-1 Schritten, sodass bekomme ich 1= x ^s-k?

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einfach k-1 mal mit dem Inversen multiplizieren.