Wie viele endliche Untergruppen besitzt G?

Question

Sei G = ⟨g⟩ eine unendliche zyklische Gruppe.

Wie viele endliche Untergruppen besitzt G?

Answer 1

Eine: Die Untergruppe, die nur aus dem neutralen
Element besteht. Das solltest du aber auch beweisen.

Comments

Wie bist du drauf gekommen, dass die Untergruppe nur aus dem neutralen Element besteht?

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Sei \(g^n\) ein Element der Untergruppe \(H\) mit \(n\geq 1\).

Dann gilt auch \((g^n)^m\in H\). Nun sind die

\((g^n)^m\) für verschiedene \(m\) paarweise verschieden;

denn wäre etwa \((g^n)^{m_1}=(g^n)^{m_2}\), wobei o.B.d.A.

\(m_1< m_2\) gilt, d.h. \((g^n)^{m_2-m_1}=e\), also

\(g^{nm_2-nm_1}=e\), d.h. \(g\) hat endliche Ordnung.

Das ist ein Widerspruch zur Unendlichkeit

der zyklischen Gruppe \(G\).