G endliche Gruppe. Beweisen Sie, dass die Anzahl der Elemente x von G mit x≠ x^{-1} gerade ist.

Question

Sei G eine endliche Gruppe.  Die Ordnung eines Elements g ist die.kleinste Zahl n>0 mit g^n =1.

a) beweisen sie dass die Anzahl der Elemente x mit x ungleich x^{-1} gerade ist

B) beweisen sie (mit Lagrange aber ohne Sylow!) dass G ein Element der Ordnung 2 hat, dann und nur dann, wenn |G| gerade ist.

Kann mir da einer helfen und das versuchen zu erklären.  Ich habe das jetzt im studium aber habe das leider nie vorher irgendwie in der schule gehabt und weiß nicht wie ich da vorgehen muss

Comments

Leider läßt sich nicht entziffern, was genau das Problem ist - gibt's ein Foto von der Aufgabe?

$$x \ne \frac 1x$$

kommt ja nun mal recht oft vor ...

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der Text des Aufgabenteil von B grammatikalisch verstümmelt

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Das ist.Die.komplette Aufgabe.  Ich weiß nicht was die Lösung ist bzw. Ich würde gerne den Lösungsweg gerne irgendwie erklärt bekommen oder so. Einfach wie man das macht alles

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Ich bin recht sicher, dass die Grammatikfehler und sonstigen Verwechslungen im Text nicht dem Original entsprechen. Daher meine Zweifel bezüglich der korrekten Darstellung der mathematischen Inhalte.

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Hallo plain d'espoir,

"\( x \neq 1/x \) kommt ja nun mal recht oft vor ..."

Du hast hier eine endliche Gruppe mit beliebigen Elementen. Mit \( x^{-1} \) bezeichnet man das Inverse zu \( x \), welches definiert ist durch:

Element verknüpft mit inverses Element = Neutrales der Gruppe.

formal: \( x \circ x^{-1} = 0 \)

Das hat nichts mit Division durch x zu tun, und in vielen Gruppen kommt es sogar sehr häufig vor, dass ein Element und sein Inverses identisch sind.

(Und insofern ist auch Deine Schreibweise mit \( x^{-1} \) als \( {1\over x} \) falsch.)

Grüße,

M.B.

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EDIT: @mathefreak: Habe bei b) in blau ein paar Korrekturen gemacht. Kannst du mal schauen, ob das nun deinem Original entspricht?

EDIT: sehe gerade, dass du nun eine korrigierte Version von b) eingestellt hast.

Hier: https://www.mathelounge.de/383936/beweisen-sie-mit-lagrange-das-ein-element-ordnung-wenn-gerade

Dort hättest du aber den Anfang nochmals durchlesen müssen. Ich habe auch dort blau korrigiert. Schau dort nochmals rein.

Answer 1

Bei der ersten Teilaufgabe geht es um die Anzahl der Gruppenelemente, die von ihrem Inversen verschieden sind. Wenn aber x von seinem Inversen verschieden ist, dann ist wegen (x^-1)^-1 = x auch x^-1 von seinem Inversen verschieden. Elemente mit der gesuchten Eigenschaft treten also immer paarweise auf.

Comments

Ich habe mir das jetzt angeguckt nochmal, aber wie beweise ich das jetzt bei a)?

Ich sehe bei dem Thema überhaupt nicht klar