Question

Bezeichne |M| die Anzahl der Elemente einer endliche Menge M sowie P0(M) = {N ⊆ M : |N| ist gerade}, P1(M) = {N ⊆ M : |N| ist ungerade}.

(Hinweis: Die leere Menge ∅ hat null Elemente, also auch eine gerade Anzahl.)

Comments

Sorry, Ergänzung zur Aufgabenstellung:

a) Man beweise: Für jede nichtleere endliche Menge M gilt: |P0(M)| = |P1(M)|. Hinweis: Benutzen Sie vollständige Induktion nach |M|, wobei im Induktionsschritt Folgendes zu zeigen ist: Wenn die Aussage für M gilt, dann auch für M0 = M ∪{m}, m /∈ M.

Betrachten Sie zu diesem Zwecke die Mengen {N ∈ Pj (M0 ) : m ∈ N} und {N ∈ Pj (M0 ) : m /∈ N} für j ∈ {0, 1}. In welcher Beziehung stehen die Mächtigkeiten dieser Mengen zu |P0(M)| und |P1(M)|?

b) Sei jetzt |M| = n mit n ∈ N. Berechnen Sie |P0(M)| und |P1(M)|.