Hallo,
wir halten mal j fest und überlegen, für welche i der Bruch \(\frac{a_i}{a_j}\) zu X gehört. Da die Folge streng monoton wachsen ist, gilt für \(i \leq j\): \(\frac{a_i}{a_j} \leq 1\), der Bruch gehört also dann nicht zu X. Weil die Folgenglieder unbeschränkt wachsen, gibt es einen Index \(k_j\), so dass für \(i>k_j\) gilt: \(\frac{a_i}{a_j}>(1+c/2)\). Diese Brüche gehören auch nicht zu X.
Bis hierhin habe wir festgestellt: Für jedes j gibt es eine höchstens endliche Menge \(I_j\) mit \(\frac{a_i}{a_j} \in X\) für \(i \in I_j\).
Jetzt benutzen wir die Grenzwertbedingung. Diese gesagt, dass es ein k gibt, sodass
$$\frac{a_{j+1}}{a_j}>1+c/2 \text{ für } j>k$$
Wegen der Monotonie dann auch:
$$\frac{a_{j+m}}{a_j}>1+c/2 \text{ für } j>k \text{ und } m \in \mathbb{N}$$
Das heißt, für diese j ist die Menge \(I_j\) leer.
Insgesamt: Ein Bruch liegt in X höchstens für \(j=1,2, \ldots,k\) und die entsprechenden \(i \in I_j\).
Gruß
