Natürlicher Logarithmus Anwendung?

Question

Aufgabe:

a) e^2x = 6

b) 3 * e^2x-e^x = 10

c) e^x-5 = 6

d) 2*e^x-1 =8

Problem/Ansatz:

Hallo!

Ich war krank und hänge bisschen im Thema hinterher

Wie rechnet man diese 4 Aufgaben?

Answer 1

Für jede reelle Zahl \(x\) gilt

(1)        \(\ln \left(e^x\right) = x\) .

a) e^2x = 6

Auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus anwenden liefert die Gleichung

        \(\ln\left(e^{2x}\right) = \ln (6)\).

Wegen (1) kann die Gleichung vereinfacht werden zu

        \(2x = \ln (6)\).

b) 3 * e^2x-e^x = 10

Potenzgesetze liefern

        \(3\cdot \left(e^x\right)^2 - e^x = 10\).

Die Substitution \(z = e^x\) ergibt

        \(3\cdot z^2 - z = 10\).

Diese quadratische Gleichung lösen und dann rücksubstituieren.

Comments

Für jedes positive reelle Zahl \(x\) gilt auch

        \(e^{\ln(x)} = x\).

Für \(x \leq 0\) ist \(\ln(x)\) nicht definiert.

Answer 2

a) e^(2x)= 6

2x = ln6

x = ln6/2

b) 3*e^(2x) -e^x = 10

e^x = z

3z^2-z-10 = 0

z^2 -z/3 -10/3 =0

pq-Formel:

...

c) e^x-5 = 6

e^x = 11

x = ln 11

d) 2*e^(x-1) = 8

e^(x-1) = 4

x-1 = ln4 = ln2^2 = 2*ln2

x = 2ln2 +1