Was sagt der Rang einer Matrix aus und wofür benutzt man ihn?

Question

Unter dem Rang einer Matrix versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren.

Frage: Warum ist es wichtig, die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten-bzw. Zeilenvektoren zu berechnen? Bei welchen Rechnungen hilft mir der Rang der Matrix weiter?

Answer 1

Zum Beispiel bei der Bestimmung der Dimension des Bildes von f,

wenn f der durch die Matrix beschriebene Homomorphismus ist.

dim(Bilf(f)) = Rang der Matrix

Bei Gleichungssystemen hat es auch immer etwas mit der Dimension

des Lösungsraumes zu tun.

Answer 2

Der Rang gibt Auskunft über die Dimension des Lösungsraumes des zur Matrix gehörenden homogenen linearen Gleichungsystems. Fasst man die Matrix als lineare Abbildung auf, dann gibt der Rang auch Auskunft über die Dimension des Kernes und des Bildes der Abbildung.

Answer 3

Ihr Rang ist die Dimension ihres Bildes