potzenz mit möglichst kleiner basis (243^4)

Question

Die Aufgabe lautet: 243^4, sie soll als Potenz mit möglichst kleiner Basis wiedergegeben werden.

Bei Aufgaben wie 256^3 habe ich das wie folgt gemacht:

Mit Anwendung der Potenzgesetze:

256^3 = (16^2)^3 = 16^{2*3} = 16^6

16^6 = (4^2)^6 = 4^{2*6} =4^12

4^12=(2^2)^12=2^{2*12}= 2^24

Bei der Aufgabe 243^4 erscheint mir das schwieriger, da wir im Unterricht nur die 2erPotenzen bis 20 auswendig lernen sollten. Bei der Klassenarbeit dürfen wir meines Wissens nach keinen Taschenrechner benutzen und für den Fall, dass solch eine Aufgabe drankommt, wollte ich fragen: Was ist  der Rechenweg um herauszufinden, welche Wurzel von 243 eine natürliche Zahl ergibt?

Durch Ausprobieren kam ich auf folgendes Ergebnis:

Die 5te Wurzel aus 243 ergibt 3

D.h: 243^4 = (3^5)^4=3^{5*4}=3^20

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn ihr mir helfen könntet. Gibt es einen Weg, mit dem man schnell und ohne Taschenrechner errechnen kann, die wievielte  Wurzel der Zahl eine natürliche Zahl ergibt?

Schon mal danke im Voraus.

Comments

Na ja, das kommt davon, wenn man in der Schule nur das macht was man unbedingt machen soll:

Bei der Aufgabe 243⁴ erscheint mir das schwieriger, da wir im Unterricht nur die 2er Potenzen bis 20 auswendig lernen sollten.

Ich weiß, dass \(243 = 3\cdot 81 = 3\cdot 3^4 = 3^5 \) ist.

Versuche einfach, aus der Basis kleine Primfaktoren abzuspalten.

Answer 1

16*16=256 das ist nicht schwer

Comments

Es geht hierbei ja nicht um die 256^3, sondern um die 243^4. Wie beschrieben, weiß ich ja wie man bei 2er Potenzen bis 20 vorgeht. Das Problem liegt hier bei der Wurzel aus 243, da ich gerne wüsste, wie man ohne Taschenrechner auf die 5te Wurzel von 243 kommt (mit Rechenweg) trotzdem danke für die Antwort, tut mir leid wenn ich die Aufgabe so undeutlich gestellt habe.