Rechenregel für Komplemente von Mengen und Teilmengen beweisen.

Question

a) Seien \( A, B \) Teilmengen \( M . \) Zeigen Sie die sogenannten deMORGANschen Rechenregeln für Komplemente:

(i) \( (A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c} \)

(ii) \( (A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c} \)

b) Zeigen Sie die folgende Äquivalenz:
$$ A \subseteq B \Longleftrightarrow A \cap B=A $$


bei  (a) könnte ich mir vielleicht noch was zusammenbasteln...

aber bei (b) habe ich keine  Ahnung. Hier müsste ich zwei Richtungen zeigen.

Comments

b) Vgl. hier: https://www.mathelounge.de/280471/aquivalenz-zeigen-mengenlehre

Answer 1

zu a) (i) Es genügt zu zeigen

1. (A∪B)^c ⊆ A^c∩B^c
   
2. A^c∩B^c ⊆ (A∪B)^c

zu a) (i) 1. Sei m∈(A∪B)^c. Dann ist m∉A∪B. Also ist m∉A und m∉B. Demnach muss m∈A^C und m∈B^c sein. Dann ist aber auch m∈A^C∩B^c.

Der Rest geht genauso.

Comments

ist bei 2. nicht das Ganze rückwärts augeschrieben?

und (ii) geht genauso?

bei (b) habe ich aber überhaubt keine Ahnung.

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ich hab noch folgendes entdeckt zu (a):

Sei x ∈ X , dann gilt:

x ∈ ( A ∪ B ) °

[gemäß Definition:]

<=> x ∈ X \ ( A ∪ B )

[wenn x nicht in der Vereinigungsmenge von A und B liegt, dann liegt x weder in A noch in B, also:]

<=> x ∉ A ∧ x ∉ B

[wenn x nicht in A liegt, dann liegt es in X \ A und wenn x nicht in B liegt, dann liegt es in X \ B, also: 

<=> x ∈ X \ A ∧ x ∈ X \ B

[gemäß Definition:]

<=> x ∈ A ° ∧ x ∈ B °

[und das lässt sich schreiben als:]

<=> x ∈ A ° ∩ B °

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> ist bei 2. nicht das Ganze rückwärts augeschrieben?

Wie meinst du das? 1 und 2 sind unterschiedliche Aussagen, die gleichzeitig wahr sein können, aber nicht immer gleichzeitig wahr sind.

> ich hab noch folgendes entdeckt zu (a):

Geht auch, dann spart man sich 2.

> und (ii) geht genauso?

Prinzipiell genauso, nicht wortwörtlich genauso.

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dankeschön!!! für die Antwort und die Kommentare!