Zeige (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) und (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪C)

Question

Aufgabe: Prüfen sie ob folgenden Teilmengenbeziehung gilt:

1. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

2. (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Die Videos zu Mengengleichheits-Beweisen von Christian Spannagel haben mir damals sehr geholfen!

Beweis für 1.

Zu zeigen ist, dass für alle \(x\) gilt:$$x\in (A\cap B)\cup C \Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (B\cup C)$$ Sei \(x\) nun fest, aber beliebig. Nehme dir nun eine Seite der Gleichung raus und forme äquivalent um:$$x\in (A\cap B)\cup C \Leftrightarrow x\in (A \land B)\, \vee( x\in C) \Leftrightarrow (x\in A \land x\in B)\vee (x\in C)$$ Nach dem Distributivgesetz gilt weiter:$$\Leftrightarrow ((x\in A)\vee (x\in C))\land ((x\in B) \vee (x\in C))$$ und damit sind wir auch schon fertig.

Comments

Vielen Dank!

Deine Lösung ist für mich echt gut nachzuvollziehen und auch das Video war sehr hilfreich! Vielen Dank

Hast du auch eine Idee wie man 2 Beweisen könnte? Ich habe mir dazu passend zwei Venn-Diagramme gezeichnet und wenn ich die vergleiche, sehe ich dort keine Teilmengenbeziehung...

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Hier meine (vermutlich falsche) Notiz zu 2 ...

Ich komme dort nicht weiter 

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die Gleichheit bei 2) gilt nicht, vgl. das Venn-Diagramm:

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Vielen Dank! Ich bin auch immer wieder darauf gekommen, das ich keine Teilmengenbeziehung finden konnte - aber ich konnte das nicht beweisen!

Vielen Dank! Und einen schönen Sonntag noch!

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Du könntest die Aussage negieren und beweisen, dass das [also die Negation] stimmt. Eine gute Anlaufstelle dafür ist https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aussagen_negieren

Viel Spaß beim Knobeln, ich muss jetzt aber auch mein Übungsblatt fertig bekommen :')