Beweisung der Ungleichung zwischen arithmetischem und quadratischem Mittel:

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x, y \geqslant 0, \) die Ungleichung zwischen arithmetischem und quadratischem Mittel:

$$ \frac{x+y}{2} \leqslant \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} $$

Answer 1

Da beide Varaible ≥ 0 sind, ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung

[ ( x + y ) / 2 ]^2 ≤  ( x^2 + y^2 ) / 2
( x^2 + 2xy + y^2 ) / 4  ≤  ( x^2 + y^2 ) / 2 | * 4
x^2 + 2xy + y^2   ≤  ( x^2 + y^2 ) * 2
x^2 + 2xy + y^2   ≤  2 * x^2 + 2 * y^2

2xy ≤ x^2 + y^2
0 ≤ x^2 - 2xy + y^2
0 ≤  ( x - y )^2

Ein Quadrat ist stets größer / gleich 0.
q.e.d. oder Nachweis erbracht

Answer 2

Z.B. mit der Jensenschen Ungleichung angewandt auf die Quadratfunktion.