Zeigen Sie die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel:∀a, b 0 :√ab≤a+b/2und außerdem …

Question

Aufgabe

Zeigen Sie die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel:∀a, b >0 :√ab≤a+b/2und außerdem gilt√ab=(a+b)/2⇐⇒a=b.

Problem/Ansatz

Also ich habe beim ersten Teil:

√ab≤(a+b)/2 /()²

^{ab<  (a+b) / 4 /*4}

4ab<a²+2ab +b ²  /-4ab

0<(a-b)²

^{aber die Äuivalenzumformung bekomme ich nicht hin bzw. den 2. Teil}

Answer 1

Hier die Skizze einer geometrischen Beweisidee:

Comments

Nette Idee.                                    .

Answer 2

Text erkannt:

\( \sqrt{a \cdot b}=\left.\frac{a+b}{2}\right|^{2} \)
\( a \cdot b=\frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{a b}{2}+\frac{b^{2}}{4} \)
\( \frac{a \cdot b}{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4} \mid \cdot 4 \)
\( 2 a b=a^{2}+b^{2} \)
\( a^{2}-2 a b+b^{2}= \)
\( (a-b)^{2}=0 \)
\( a-b=0 \)
\( a=b \)
\( ---- \)
\( \sqrt{a \cdot b}<\frac{a+b}{2} \) mit \( a, b>0 \)
\( \sqrt{a \cdot b}<\left.\frac{a+b}{2}\right|^{2} \)
\( a \cdot b<\frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{4} \mid \cdot 4 \)
\( a^{2}+2 a b+b^{2}>4 a \cdot b \)
\( a^{2}-2 a b+b^{2}>0 \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Answer 3

Aloha :)

$$0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b\;\implies\; 2\sqrt{ab}\le a+b\;\implies\;\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$$Gleichheit gilt offenischtlich für \(a=b\).

Answer 4

Sei

$$a≤b$$$$b=a+2d$$$$a=b ↔d=0↔$$$$(a+b)/2=a= \sqrt{a^2} =\sqrt{ab} $$

es gilt

$$a^2+2ad+d^2≥a^2+2ad$$$$a^2+2ad+d^2≥a(a+2d)$$$$ \sqrt{a^2+2ad+d^2}≥ \sqrt{a(a+2d}$$$$ a+d≥ \sqrt{a(a+2d)}$$$$ (a+(a+2d))/2≥ \sqrt{a(a+2d)}$$$$ (a+b)/2≥ \sqrt{ab}$$