Zeigen Sie: Ungleichung von arithmetischen und geometrischem Mittel -> Ansatz

Question

Aufgabe:

Es seien \( a \) und \( b \) zwei positive reelle Zahlen mit \( a \leq b . \) Zeigen Sie:
$$ a \leq \frac{2 a b}{a+b} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq b $$

Problem/Ansatz:

Wie komme Ich bei dieser Aufgabe überhaupt zu einem Ansatz ?

Answer 1

Mach es schrittweise. Erst mal

a ≤  (2ab) / ( a+b)

<=>  a*(a+b) ≤  2ab

<=>  a^2 + ab ≤  2ab

<=>  a^2   ≤  ab  | :a (ist ja >0 )

<=>    a ≤  b .  Also wahr.

Dann     (2ab) / ( a+b)  ≤  √(ab)

<=>   2ab ≤  √(ab) * (a+b)

<=>  2 √(ab)   ≤   a+b    

weil a und b positiv sind kann man schreiben

<=>  2 √(ab)  ≤  (√a)^2  + (√b)^2

<=> 0 ≤  (√a)^2    -    2 √(ab)    + (√b)^2

<=> 0 ≤  (√a - √b)^2

stimmt, weil Quadrate nie negativ sind.  etc.

Answer 2

Aloha :)

Wegen \(a,b\ge0\) existieren die Wurzeln \(\sqrt a\) und \(\sqrt b\), sodass:$$0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2-2\sqrt{ab}+(\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b$$$$\implies2\sqrt{ab}\le a+b\implies\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\quad;\quad a,b\ge0$$

Die Abschätzung nach unten folgt daraus ebenfalls, gilt allerdings nur, wenn nicht \(a\) und \(b\) beide gleichzeitig \(0\) sind, weil wir sonst durch \(0\) dividieren würden:$$2\sqrt{ab}\le a+b\implies2ab\le(a+b)\sqrt{ab}\implies\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}$$Damit haben wir die Ungleichungskette:$$\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\quad;\quad a,b\ge0\;\land\;\;a+b>0$$

Oha sorry, ich habe noch die Abschätzungen gegen \(a\) und \(b\) übersehen. Hier ist zusätzlich gegeben, dass \(a\le b\) gilt. Daher ist \(\frac{1}{b}\le\frac{1}{a}\). Das heißt:$$a=\frac{2}{\frac{2}{a}}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{a}}\le\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}\quad;\quad\frac{a+b}{2}\le\frac{b+b}{2}=b$$

Damit ist dann die Ungleichungskette komplett:$$a\le\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le b\quad;\quad 0<a\le b$$