Zeigen Sie mithilfe der Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel

Question

Text erkannt:

5.6 Sei \( q=\frac{m}{n} \) für \( n, m \in \mathbb{N} \) mit \( m<n \). Zeigen Sie mithilfe der Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel, dass für alle \( x>-1 \) gilt:
\( (1+x)^{q} \leq 1+q x \)

Hinweis: Schreiben Sie \( (1+x)^{m}=\prod \limits_{i=1}^{n} y_{i} \) für geeignete \( y_{1}, \ldots, y_{n} \).

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

Hallo

wie vorgehen? Erstmal die Hinweise und Anleitungen befolgen! hast du die Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel hingeschrieben? Was machst du mit dem Hinweis?

lul

Answer 2

\((1+x)^q=(1+x)^{ \frac{m}{n}} =\sqrt[n]{(1+x)^{ m}}\) ist das geometrische Mittel von n Werten, deren Produkt \((1+x)^m\) ist.

Dieses Produkt erhält man, wenn m Faktoren jeweils (1+x) sind und die restlichen Faktoren 1 sind.

\(1+qx=1+ \frac{mx}{n} = \frac{n+mx}{n} \) ist das arithmetische Mittel von n Werten, deren Summe n+mx ist.

Hilft das weiter?