Jensen Ungleichung, geometrischen und arithmetischen Mittel

Question

Meine Aufgabe ist folgende:

Es sei \( X>0 \) eine Zufallsvariable, so dass \( X \) und \( \log (X) \) integrierbar sind. Zeigen Sie
$$ \exp (\mathbb{E}(\log X)) \leq \mathbb{E}(X) $$
Folgern Sie die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel, d. h. für \( x_{1}, \ldots, x_{n}>0 \) gilt
$$ \left(\prod \limits_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{1 / n} \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} $$

Ansatz: Die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel bekommt man dann, wenn man einfach X nimmt, die nur Werte x1 bis xn alle mit W-keit 1/n annimmt. Hierzu kann man die Jensengleichung in Betracht ziehen. Allerdings bin ich sicher, wie man das auf meine Aufgabe übertragen kann

Wisst ihr, wie man das zeigt und diese Ungleichung daraus folgert?

Answer 1

Zu 1)

Es gilt (bitte nachrechnen) $$ \ln(X) = \ln \left( \frac{X - \mathbb{E}(X)}{\mathbb{E}(X)} +1  \right) + \ln \left( \mathbb{E}(X) \right) $$ Weil gilt $$ \ln(t+1) \le t  $$ folgt $$ \ln(X) \le \frac{X - \mathbb{E}(X)}{\mathbb{E}(X)} + \ln \left( \mathbb{E}(X) \right)  $$

Und daraus

$$ \mathbb{E}(\ln(X)) \le \ln(\mathbb{E}(X)) $$ Jetzt noch die \( \exp() \) auf beide Seite anwenden folgt die erste Ungleichung.

$$  \exp \left( \mathbb{E}(\ln(X)) \right) \le \mathbb{E}(X) $$

Zu 2)

Ist \( X \) eine diskrete ZV mit \( n \) Werten die alle mit Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{n} \) angenommen werden, dann folgt

$$ \mathbb{E}(X) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k   $$ und $$  \mathbb{E}(\ln(X)) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln(X_k) $$ und $$  \exp( \mathbb{E}(\ln(X)) )  = \exp\left(  \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln(X_k) \right) = \left( \prod_{k=1}^n X_k \right)^\frac{1}{n} $$ und damit die gesuchte Ungleichung.

Comments

!!! Gute Tipps