Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel/Cauchy

Question

Habe ein paar Fragen :
1. Warum wird hier das Quadrat genommen bzw. warum darf man das und wieso steht zwischen √a und √b ein Minus? https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel#Formale_Formulierung
2.Wieso wird plötzlich der Betrag von der Folge c_n benutzt?
3. Wieso können sie 2/(n+2) aus der Summe herausziehen und warum steht in der Summe nur noch eine1, man würde die 1 doch n+1-mal addieren in diesem Fall?

Hier die Datei:
material-ueb-09b.pdf (57 kb)

Answer 1

zu 1)

hier wird nur mit der 2. Binomischen Formel eine Hilfe gebaut*, mit der dann der Nenner umgeformt wird. Das passiert an der Stelle wo bei der Zeile mit |c_n| dass >= Zeichen steht. Die Ungleichung ist am Ende doch gleich der vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

* Das Quadrat ist >= 0, dann wird ausmultipliziert und nach Wurzel(a) mal Wurzel(b) aufgelöst.

zu 2)

Der Betrag wird hier benutzt, da man das (-1)ⁿ weggelassen hat.

zu 3)

Man kann 2/(2n+1) ausklammern, da dort kein k vorkommt und es dann durch die Rechenregeln der Addition erlaubt ist. Es steht ja in jedem einzelnen Summanden.

Ja die Summe ergibt n+1, was man daran erkennen kann, dass im nächsten Schritt der Bruch auch genau mit n+1 multipliziert wurde.

Falls es noch Fragen gibt, bitte einfach kommentieren.

Gruß

Comments

Danke, für die Antwort:

aber wie kommt man in so einem Fall, darauf diese Ungleichung zu verwenden 0≤(√a -√b)²

Warum schreibt man nicht direkt √(a*b) = √a*√b ≤ (a+b)/2 oder einfach eine Notiz "unter Verwendung von der Ungleichung √a*√b ≤ (a+b)/2  folgt..."

und warum können sie überhaupt abschätzen bzw. eine Vergleichsreihe nutzen?

Answer 2

Warum wird hier das Quadrat genommen bzw. warum darf man das und wieso steht zwischen √a und √b ein Minus?

relativ blöde Antwort ist:  weil es damit klappt.

Genauer:   Wenn man etwas quadriert, ist das Ergebnis nie negativ, also hat man das  0≤

begründet.  Und wenn man den Term mit der binom. Formel umwandelt und die Wurzeln

auf die andere Seite bringt, hat man eben da den Term für das geom. Mittel.

Wieso können sie 2/(n+2) aus der Summe herausziehen

weil das nicht von k abhängt und die Summe über k läuft

und warum steht in der Summe nur noch eine1, man würde die 1 doch n+1-mal addieren in diesem Fall?

genau, deshalb steht im nächsten Schritt der Faktor  n+1.