Beweisen Sie durch vollständige Induktion den binomischen Lehrsatz, d.h. zeigen Sie, dass fur alle a, b ∈ R und n ∈ N die folgende Formel gilt:
$$ { (a+b) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} } ){ a }^{ n-k }{ b }^{ k } $$
Hinweis: Uberzeugen Sie sich zuerst, dass für alle k, n ∈ {0, 1, 2, 3 . . . } := N0 mit k ≤ n die folgende Gleichung gilt:
$$ (\begin{matrix} n+1 \\ k+1 \end{matrix})=(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})+(\begin{matrix} n \\ k+1 \end{matrix}) $$
Fur k, n ∈ N0 ist der Binomialkoeffizient gegeben durch:
$$ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})=\begin{cases} \frac { n! }{ k!(n-k)! } \\ 0 \end{cases}\quad \quad \begin{matrix} falls\quad k\le n \\ falls\quad k>n \end{matrix} $$
wobei die Fakultät einer Zahl m ∈ N0 wie folgt definiert ist:
$$ m!=\prod _{ i=1 }^{ m }{ i } $$
