vollständige Induktion, Fakultät, Summenformel für (n+1)!/((n-k)!(k+1)!) beweisen.

Question

für \( n, k \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( k \leq n \) gilt, dass
$$ \frac{(n+1) !}{(n-k) !(k+1) !}=\sum \limits_{m=k}^{n} \frac{m !}{(m-k) ! k !} $$
wobei \( \sum \limits_{m=k}^{n} a_{m}:=a_{k}+a_{k+1}+\ldots+a_{n} \) für \( a_{m} \in \mathbb{R}, m \in\{k, k+1, \ldots, n\} \)

hat jemand eine Ahnung wie man dies zeigt? ist der Induktionsschritt k-> k+1 und n->n+1?

Comments

Die Induktion geht nach n. k ist im Rahmen des Erlaubten beliebig, aber fest. Man kann die Gleichung auch etwas uebersichtlicher als $${n+1\choose k+1}=\sum_{m=k}^n{m\choose k}$$ schreiben.

Answer 1

Induktionsanfang: n = k

$$ \begin{aligned}\frac { \left( k+1 \right) ! }{ \left( k-k \right) !\left( k+1 \right) ! } &=\sum _{ m=k }^{ k }{ \frac { m! }{ \left( m-k \right) !k! }  } \\ \frac { \left( k+1 \right) ! }{ \left( k-k \right) !\left( k+1 \right) ! } &=\frac { k! }{ \left( k-k \right) !k! } \\ 1&=1 \end{aligned} $$

Induktionsschritt: n → n+1

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:

$$ \frac { \left( n+1 \right) ! }{ \left( n-k \right) !\left( k+1 \right) ! } =\sum _{ m=k }^{ n }{ \frac { m! }{ \left( m-k \right) !k! }  } \quad \quad \quad \quad | +\frac { \left( n+1 \right) ! }{ \left( n+1-k \right) !k! } $$

$$ \begin{aligned} \frac { \left( n+1 \right) ! }{ \left( n-k \right) !\left( k+1 \right) ! } +\frac { \left( n+1 \right) ! }{ \left( n+1-k \right) !k! } =\sum _{ m=k }^{ n+1 }{ \frac { m! }{ \left( m-k \right) !k! }  } \\ \frac { \left( n+1 \right) !\left( n+1-k \right) +\left( n+1 \right) !\left( k+1 \right)  }{ \left( n+1-k \right) !\left( k+1 \right) ! } =\sum _{ m=k }^{ n+1 }{ \frac { m! }{ \left( m-k \right) !k! }  } \\ \frac { \left( n+1 \right) !\left( n+1-k+k+1 \right)  }{ \left( n+1-k \right) !\left( k+1 \right) ! } =\sum _{ m=k }^{ n+1 }{ \frac { m! }{ \left( m-k \right) !k! }  } \\ \frac { \left( n+1 \right) !\left( n+2 \right)  }{ \left( n+1-k \right) !\left( k+1 \right) ! } =\sum _{ m=k }^{ n+1 }{ \frac { m! }{ \left( m-k \right) !k! }  } \\ \frac { \left( n+2 \right) ! }{ \left( n+1-k \right) !\left( k+1 \right) ! } =\sum _{ m=k }^{ n+1 }{ \frac { m! }{ \left( m-k \right) !k! } } \end{aligned} $$

w.z.b.w.

Comments

https://www.mathelounge.de/400739/vollstandige-induktion-summenformel-binomialkoeffizienten

Könntest du mir bei dieser Aufgabe behilflich sein??

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warum ist beim induktionsanfang n=k? Das versteh ich nicht