Gegenbeispiel bedeutet:
Wenn es eine abgeschlossene Menge M gibt deren Bild, also arctan[M], nicht offen ist, folgt, dass arctan keine abgeschlossene Funktion ist. arctan ist nur dann eine abgeschlossene Funktion, wenn JEDE abgeschlossene Menge auf eine abgeschlossene Menge abgebildet wird.
Setze M=IR (reellen Zahlen). IR ist abgeschlossen.
Das Bild von IR, arctan[IR] = (-PI/2 , PI/2 ) ist aber offen, also ist arctan keine abgeschlossene Funktion