Warum ist arctan offen, aber nicht abgeschlossen?

Question

Wie kann man begründen, warum arctan(x) für x in ℝ eine offene, aber nicht abgeschlossene Abbildung ist?

Answer 1

Fuer "offen" argumentiert man mit Stetigkeit und Monotonie. Fuer "nicht abgeschlossen" gibt man ein Gegenbeispiel an.

Comments

Gegenbeispiel bedeutet: Wenn es eine abgeschlossene Menge M gibt deren Bild, also arctan[M], nicht offen ist, folgt, dass arctan keine abgeschlossene Funktion ist. arctan ist nur dann eine abgeschlossene Funktion, wenn JEDE abgeschlossene Menge auf eine abgeschlossene Menge abgebildet wird. Setze M=IR (reellen Zahlen). IR ist abgeschlossen. Das Bild von IR, arctan[IR] = (-PI/2 , PI/2 ) ist aber offen, also ist arctan keine abgeschlossene Funktion