Ist folgende Menge sowohl offen als auch abgeschlossen? F={(x,y,z)∈R^3| 0<x^2+y^2≤3; 0≤z≤5}.

Question

Ich wollte eine Menge finden, was sowohl offen als auch abgeschlossen ist im R^3. Dabei bin ich auf folgender Menge gekommen: F={(x,y,z)∈R^3| 0<x^2+y^2<3; 0≤z≤5}.

EDIT(Lu): Gemeint war: F={(x,y,z)∈R³| 0<x²+y²≤3; 0≤z≤5}.

Ist das dann soweit richtig? Erfüllt es meine Voraussetzung? Ich wäre für jede hilfreiche Antwort dankbar :-)

Comments

mE ist deine Menge

weder offen. (0,0,5) liegt in M aber jede Kugel um (0,0,5) ragt aus dem Menge raus.

noch abgeschlossen (jede Kugel um (√3 , 0,0) kommt noch die Menge rein aber {√3,0,0) liegt nicht in der Menge.

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upps ich hatte es falsch abgetippt die Menge die ich hatte war eig so:

F={(x,y,z)∈R^3| 0<x^2+y^2≤3; 0≤z≤5}. Ändert dies etwas an der Lösung? Würde es diesmal meinen Voraussetzungen entsprechen?

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Ich glaube mein Argument gegen offen ist noch immer gültig.

EDIT: Habe nun deinen zweiten Vorschlag oben noch eingefügt.

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Danke erstmal :)

hmmm ich bin gerade am überlegen und zwar dachte ich, wenn ich 0≤z≤5 auf 0<z<5 (i) ändere würde es doch klappen.

Aber nun denke ich mir, wenn ich an der Mantelfläche des Zylinders (3,3,3) (z.B.) eine Kugel setzen müsste, dann wäre diese Kugel immer noch teilweise in der Menge und teilweise aus der Menge. Wenn dies der Fall ist, dann müsste meine Menge so aussehen

F={(x,y,)∈R^3| 0<x^2+y^2<3; 0<z<5} (ii)?

Ich bin gerade komplett verwirrt und kann mich zwischen (i) und (ii) nicht entscheiden ;-(

Answer 1

Da \(\mathbb{R}^3\) zusammenhängend ist, sind \(\mathbb{R}^3\) und \(\emptyset\) die einzigen Teilmengen von \(\mathbb{R}^3\), die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.

Comments

Also wenn nach einer Menge gefragt ist, dass sowohl offen als auch abgeschlossen ist im R^3, dann ist ∅ die einzige Lösung? Könntest du noch erklären was du mit zusammenhängend meinst.

Danke schon mal

Lg

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Nein, es gibt auch noch \(\mathbb{R}^3\).

Über zusammenhängende Mengen/Räume kannst du z.B. auf Wikipedia etwas nachlesen.
Es gibt noch eine andere Eigenschaft, nämlich Wegzusammenhang (das ist anschaulicher). Einfach gesprochen heißt eine Menge wegzusammenhängend, wenn man je zwei Punkte aus der Menge durch einen Weg verbinden kann. Z.B. sind die Mengen \(\mathbb{R}^3\) oder \(\{\left.x\in\mathbb{R}^3\ \right| |x|<1\}\) wegzusammenhängend, \(\{\left.x\in\mathbb{R}^3\ \right| |x|<1\}\cup \{\left.x\in\mathbb{R}^3\ \right| |x|>3\}\) dagegen nicht.

Außerdem gilt: Jede wegzusammenhängende Menge ist zusammenhängend (andersum gilt das nicht). Deswegen ist \(\mathbb{R}^3\) zusammenhängend.

Wie gesagt: Schau dir mal auf Wikipedia an, was Zusammenhang bedeutet. :-)