Ist die Menge ℂ ein Körper?

Question

Weisen Sie nach, dass die Menge ℂ ausgestattet mit der Addition

z + w = (x + i y) + (u + i v) := (x + u) + i (y + v) und der Multiplikation
z*w = (x + i y) (u + i v) := (xu- yv) + i (xv + yu)

z,w ∈ℂ ein Körper ist

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

du musst nachweisen, dass die Körperaxiome gelten.

Diese findest du hier:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_K%C3%B6rperaxiome angegebenen

Bei den dort angegebenen Körperaxiomen musst du natürlich ℝ durch ℂ ersetzen!

Gruß Wolfgang

Comments

Gehe es direkt morgen an und melde mich nochmal, wie es lief. Danke, für die Antwort. Kann ich die andere Antwort ignorieren oder steht dort auch etwas sinnvolles drin?

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Ich würde sie ignorieren :-)

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Also ich habe mir das Ganze nochmal angesehen und was mich verwirrt ist diese Angabe


die Menge ℂ ausgestattet mit der Addition
z + w = (x + i y) + (u + i v) := (x + u) + i (y + v) und der Multiplikation
z*w = (x + i y) (u + i v) := (xu- yv) + i (xv + yu)

Soll ich auch das beweisen, die Aussage verwiirt mich einfach. Soll ich zeigen, dass die angegebenen Gesetzte zur Multi. bzw. Add. gelten oder muss mich einfach nur zeigen, dass ℂ ein Körper ist, also die angegebenen Eigenschaften zutreffen.

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Die Addition und die Multiplikation sind in deiner Aufgabe definiert. Du darfst damit arbeiten. Definitionen musst du nicht beweisen.

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Also müsste ich, jeweils für Addition und Multi. folgedne Eigeneschaften beweisen:
Kommutativität
Assoziativität
Neutralelement
Inverses

und dann natürlich noch:
das Distributivgesetz

Aso, dass heißt einfach nur, dass ich auf diese Art umformen kann :D Ich vergesse immer wieder, dass man  alles vergessen soll, was man vor der Uni gelernt hat, also hätte ich ansonten erst die Multi. und Additionsregel beweisen müssen.

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Ja. Ich vermute, dass du bei deinen Rechnungen die Rechenregeln aus R schon benutzen darfst, weil du schon weisst, dass R mit + und * ein Körper ist.

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z+w=w+z       z=: a₁ +b₁i    w=: a₂+b₂i

z+w=(a₁ +b₁i)+( a₂+b₂i)                kann ich die folgende Umformung tätigen, ginge es auch schneller?
       = a1 + a2 +(b1+b2)i       
       = a2 + a1 +(b2+b1)i
       =( a₂+b₂i) + (a₁ +b₁i)
       = w + z

Wäre dieser Beweis korrekt?

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z+w=(a₁ +b₁i)+( a₂+b₂i)                kann ich die folgende Umformung tätigen, ginge es auch schneller? 

                                                               Schneller geht's nicht. Du solltest sogar noch begründen.

                                |Def. der Addition.

       = a1 + a2 +(b1+b2)i            | Kommutativität in R
       = a2 + a1 +(b2+b1)i 
       =( a₂+b₂i) + (a₁ +b₁i) 
       = w + z 

Ausserdem: Befolge die Definition strikt und schreibe das i jeweils links hin. 

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Leider, scheitere ich aktuell an dem Beweis für das Inverse, sowie den Beweis für das Neutralelement. Kann mir jemand beim Ansatz helfen oder mir einen Tipp geben ?

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Rechne die doch so aus, wie du es vor der Uni mal gemacht hast.

Und prüfe, ob damit alles aufgeht.

Ich nehme an, du meinst die das Inverse der Multiplikation.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28a%2Bib%29 

Wäre die Behauptung.

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Z.z.:  z*z^{-1} = 1

Z^{-1}=

(a+ib)*[(a/a^2+b^2)-(ib/a^2+b^2)] =  (a^2/a^2+b^2)+ ((ib)^2/a^2+b^2)) -(aib/a^2+b^2) - (-b^2/a^2+b^2)=..
Ich komme nicht weiter, wo liegt mein Denkfehler?

Alle anderen Gesetze habe ich bewiesen...

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Ich weiss nicht was du da gemacht hast,

aber der Inverse Element ist eigentlich richtig

Keine Ahnung wie du Quadrat gekriegt hast.

ZZ z*z^-1

^z=a+ib

z^{-1 =ist egentlicht nicht mehr als 1/z =das heisst,z.1/z=1}

^{ausfürlicher,}

^{(a+ib)*(1/a+ib)=1(a+ib kürzt sich weg)}

^{Ps.Sorry wenn du meine deutsch nicht verstehst,nicht meine Erste sprache.}