Wie bestimme ich die Lage der Geraden g?

Question

Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter.

Prüfen Sie, welche Lage die Gerade g relativ zum Graphen von f einnimmt (Sekante, Tangente, Passante).

f(x)=x^2+4x+1;    g(x)=2ax, a=größer 0

Danke

Answer 1

 Sekante  heisst: genau 2 Schnittstellen

Tangente heisst: genau eine Schnittstelle

Passante heisst keine Schnittstelle.

x²+4x+1 = 2ax

x²+(4-2a)x+1=0 

Nun die Diskriminante dieser Gleichung untersuchen. 

D = (4-2a)^2 - 4           |nach oben geöffnete Parabel. 3. binomische Formel.

= (4 - 2a - 2)(4-2a + 2) 

= (2 - 2a)(6 -2a)

Nullstellen: a=1 und a=3. ==> Tangente für a=1 und a=3.

Passante: für 1<a<3

Sekante für a<1 oder 3< a. 

Tipp: Schau bei den "ähnlichen" Fragen. 

Illustration und Kontrolle:

~plot~x^2+4x+1;2x;6x;1x;12x;1x;0.5x~plot~

rot und grün: Tangenten

Lila: Passante

Rest: Sekanten

Comments

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen

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Bitte. Gern geschehen.

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Aber wie kommt man auf die 3?, ich komme nicht darauf

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D= (2 - 2a)(6 -2a)

Für a = 3 ist die zweite Klammer 0. 

Für a = 1 ist die erste Klammer 0. 

Answer 2

f(x)=x²+4x+1;    g(x)=2ax, a=größer 0

Schnittpunkte
x² + 4x +1 = 2ax

Kommst du auf die Lösung ?
( sonst wieder melden )

x = a - 2 ± √ [ ( a-1) * (a-3) ]

Falls der Wert in der Wurzel
( a - 1 ) * ( a - 3 )

- 0 ist entfällt die Wurzel und
x = a -2
Es gibt nur einen Schnittpunkt = Berührpunkt = Tangente
( a = 1 und a = 3 )

- positiv ist dann gibt es 2 Lösungen = Schnittpunkte = Sekante

- negaitiv ist. Es kann keine Wurzel gezogen werden.
Es gibt keine Lösung = keinen Schnittpunkt = Passente

Comments

Danke für die Antwort aber wie kommt man auf den nächsten Schritt, also woher kommt die 3?

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( a-1) * (a-3) = 0

Satz vom Nullprodukt : Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens
einer der Faktoren 0 ist
( a -1 ) = 0  => a =1
( a -3 ) = 0  => a = 3

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( a-1) * (a-3) > 0
a-1 > 0 und a -3 > 0 ( positiv * positiv )
a > 1 und a > 3
Schnittmenge
a > 3

oder
( a-1) * (a-3) > 0
a-1 < 0 und a -3 < 0 ( negativ * negativ )
a < 1 und a < 3
Schnittmenge
a < 1

Bei ( a > 3 ) und ( a < 1 ) ist der Wurezelwert Positiv
( Eingangsvoraussetzung a > 0 beachten )

~plot~ ( x-1) * (x-3) ; [[ 0 | 5 | -4 | 12 ]] ~plot~

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Falls noch Unklarheiten vorhanden sind kann ich die ganze
Rechnung auch einmal Schritt für Schritt einstellen.

mfg Georg