Turmspringer Geschwindigkeit berechnen

Question

Hallo ich sitze gerade an den Hausaufgaben und weiss echt nicht wie ich bei Aufgabe b und c vorgehen soll. B hat bestimmt etwas mit der Fallbeschleunigung zu tun? Bei A denke ich kommt 1.41 raus. Es geht um diese Aufgabe:

Die Höhe eines Turmspringers kann durch die Funktion h(t) = 10 - 5t² beschrieben werden. (t in Sekunden, h in Metern)

a) Wie lange dauert der Sprung bis zum Eintauchen ins Wasser?

b) Mit welcher Geschwindigkeit taucht der Springer ins Wasser ein?

c) Wie hoch ist die durchschnittliche vertikale Fallgeschwindigkeit des Springers?

 

Answer 1

Du hast hier eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegen. Die Formel für das dazugehörige Weg-Zeit-Gesetz lautet s(t) = 0,5 a t^2 + v₀ t +s₀

Hierbei ist a = -10 m/s^2 und s₀ = 10m. v₀ ist Null.

Die Geschwindigkeit ist traditionell die erste Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes:

v = s'(t) = a t

In diesem Fall bedeutet das: v(t) = -10 t

Um jetzt die Geschwindigkeit beim Eintauchen zu berechnen musst die Zeit des Eintauchens, die du in a) ausgerechnet hast in die Formel für die Geschwindigkeit einsetzen. Alles klar?

Comments

Erstmal Vielen Dank für die Antwort! Aber woher weiß man, dass a -10m/s^2 ist ?

"Die Geschwindigkeit ist traditionell die erste Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes:

v = s'(t) = a t

In diesem Fall bedeutet das: v(t) = -10 t"

Diesen Punkt habe ich nicht ganz verstanden :( Ableitung hatten wir schon aber irgendwie verstehe ich das nicht :/

---

Das mit v = s'(t) = a t sollte ich jetzt verstanden haben. Es ist einfach nur eine Formel. Aber wie sind Sie auf a = -10m/s^2 gekommen oder ist das die Fallbschleunigung 9,81 m/s^2 nur gerundet?

---

Also, wie beschrieben ist das Weg-Zeit-Gesetz allgemein:

s(t) = 0,5 a t^2 + s₀  (wie gesagt v₀ brauchen wir nicht berücksichtigen, weil es keine Start Geschwindigkeit gibt)

h(t) = - 5 t^2 + 10

Das sind also die allgemeine und die konkrete Formel aus der Aufgabe mal untereinander geschrieben. Wenn du die beiden vergleichst, dann siehst du:

0,5 a = -5   und daraus wird

a = -10

Und ausserdem s₀ = 10

Hmm dir das Konzept der Ableitung so mal eben zu erklären ist nicht so einfach. Zur Kenntnis nehmen solltest du, dass die erste Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes die Geschwindigkeit ergibt. Die Ableitung der Geschwindigkeit ergibt übrigens die Beschleunigung.

---

Ich denke das habe ich verstanden. Soll ich die Werte nun in diese Formel einsetzen?:

v = a · t Wenn ja, wozu habe ich denn S0=10 berechnet? da benötige ich doch nur a=-10 und t von aufgabe a oder nicht?

---

Ja genau. Um die Geschwindigkeit zu berechnen muss du in die Formel

v = a t  (allgemein)

v = -10 t (konkret) das t einsetzen, dass du in a) ausgerechnet hast.

---

Wäre die Aufgabe so nicht viel einfacher oder geht das so nicht:

Ich habe bereits die Höhe und die Zeit gegeben. Wäre die geschwindigkeit nicht 10m/1,41s (10 meter pro 1,41 sekunden) und ich könnte anhand vom Dreisatz diese geschwindigkeit in m/s umwandeln?

---

Nein, das geht leider auf keinen Fall. Die Regel v = s / t die du hier anwenden willst, gilt nur für gleichförmige Bewegungen, also Bewegungen bei denen sich die Geschwindigkeit nicht ändert und die Beschleunigung somit Null ist. Das trifft leider auf den vorliegenden Fall nicht zu, deswegen wäre das völlig falsch.

---

Ok. v=-10 mal 1,41s also v=-14,1 heißt es Die Geschwindigkeit lautet 14,1 m/s?

---

Ja ganz genau. Da das Koordinatensystem mit der positiven Höhe nach oben gerichtet ist und der Mensch nach unten fällt, ist es durchaus richtig, das minus vor der 14,1 m/s stehen zu lassen. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit in die negative Richtung, also nach unten geht.

---

Vielen, Vielen, DANK! Wärst du noch so nett mir Aufgabe c) zu erläutern? :)

---

Die durchschnittliche Geschwindigkeit kannst du ausrechnen indem du den Weg durch die Zeit teilst. (das was du vorhin schon tun wolltest). Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich so zu:

10 m / 1,41 s = 7,1 m/s

An dieser Stelle kannst du sehen, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit bei einer gleichmässig beschleunigten Bewegung nicht der Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t enzspricht, sondern ein Mittelwert ist, der eigentlich wenig aussagt.

---

Hallo koffi123,

die durchschnittliche Geschwindigkeit sollte im Normalfall immer zu mindestens einem bestimmten Zeitpunkt t bei einer gleichmässigen Bewegung vorliegen. Hier gilt:

t= v / a = 7,1m/s / ( 10 m/ s²) = 0,71s

:-)

Gruß snoop24

Answer 2

Man kann die Aufgabe auf verschiedene Weise berechnen.
Mit oder ohne Differentialrechnung

a.)
h ( t ) = 10 - 5 * t^2
Diese Formel ergibt sich aus der allgemeine Gleichung für
eine gleichförmig beschleunigte Bewegung
s = 1/2 * a * t^2
a = g ( Erdbeschleunigung ) = 9,81 m/s^2  gerundet 5 m/s^2
Da der Sprung vom 10 m Brett stattfindet
h ( t ) = 10 - s ( t )
h ( t ) = 10 - 5 * t^2
Aufschlag im Wasser
10 - 5 * t^2 = 0
t = 1.41 sec

c.). Durchschnittliche Geschwindigkeit = Strecke / Zeit
Strecke = v * t
10 m = v * 1.41 sec
v = 7.092 m / s
Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt 7.092 m / s

d.)
Die Geschwindigkeit nimmt linear ( als Gerade ) zu
( Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit ) / 2 = Durchschnittsgeschwindigkeit
( 0 + Ende ) / 2 = 7.092
Ende = 14.184 m / s

Eine andere Berechnungsmöglichkeit
v = a * t
v = 10 * 1.41 = 14.1 m / s