Fur welche n Element N gilt: 5n - 7 < 2^n

Question

Kann ich das formal so schreiben? 

FÜr welche n Element N gilt: 5n - 7 < 2ⁿ

Für n = 1

5 * 1 - 7 = -2  , 2¹ = 2  --> gilt

Für n = 2

5 * 2 - 7 = 3  , 2² = 4  --> gilt

Für n = 3

5 * 3 - 7 = 8  , 2³ = 8 --> gilt nicht

Für n = 4 

5 * 4 - 7 = 13  , 2⁴ = 16  --> gilt

∀n ∈ ℕ , n < 4 , n > 4  trifft die Gleichung zu

Frage: 

a) Ist die mathematische Formulierung in der letzten Zeile so richtig? Wenn nein, was & warum muss ich es ändern?

b) Ich habe, angefangen mit der 1, eine Zahl nach der anderen ausprobiert. Geht das auch auch irgendwie eleganter/effektiver? 

c) Ist mein Lösungsweg (abgesehen von Formulierungsfeinheiten) akzeptabel?

Comments

siehe auch https://www.mathelounge.de/972425/

Answer 1

Für n = 4 

5 * 4 - 7 = 13  , 2⁴ = 16  --> gilt

∀n ∈ ℕ  (n < 4) ∨ ( n > 4)    ⇒  Die Gleichung trifft zu

oder kürzer:

Die Gleichung gilt für alle  n ∈ ℕ \ {4}.

Dass sie für alle n>4 gilt, müsstest du noch beweisen.

Etwa durch vollst. Induktion.