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Ich bin mir total unsicher wie die Aufgabe gelöst werden muss..

Ich hatte die Idee das nach dem n-ten Mal ableiten ja im Nenner eine Konstante steht und im Zähler weiterhin ex. Dann würde der Zähler gegen ∞ gehen und der nenner gegen n!     (?  oder (n+1)!   ?)  und somit ist der limes ja ∞/n! (oder n+1!)

Wie kann ich das Problem lösen? Ich hatte noch an Induktion gedacht (einfach nur weil es für jedes n bewiesen werden soll) bin mir aber auch da ziemlich unsicher.

LG Denise

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1 Antwort

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Vielleicht auch mithilfe der Exponentialreihe. Sei \(n\in\mathbb N\). Für alle \(x>0\) gilt$$\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$Daraus folgt$$\frac{\exp(x)}{x^n}>\frac x{(n+1)!}\xrightarrow{\ x\to\infty\ }\infty.$$

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hm das thema unseres blattes ist l'hospital.

hast du dazu irgendeine idee?

Wie bereits vermutet ist dann wohl Induktion gefragt.
$$(1)\quad\lim_{x\to\infty}\frac{\exp(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{\exp(x)}1= \infty.$$$$(2)\quad\lim_{x\to\infty}\frac{\exp(x)}{x^{n+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\exp(x)}{(n+1)x^n}=\frac1{n+1}\lim_{x\to\infty}\frac{\exp(x)}{x^n}\overset{\color{blue}{\small\text{IV}}}=\infty.$$

Funktioniert denn der Induktionsanfang auch für x=1?

Induktion erfolgt hier über \(n\), nicht über \(x\).

ja das meinte ich natürlich. entschuldige den fehler :)

Was oben unter (1) steht, ist der Induktionsanfang.

schon wieder entschuldige den fehler. es war ja für n=1. x1 ist ja x und das abgeleitet ist ja 1...

Ist schon etwas spät... :D

aber danke für deine hilfe! dann lag ich ja mit meiner idee doch gar nicht so falsch :)

Dem kann ich zustimmen.

https://www.mathelounge.de/291379/grenzwertberechnung-lhospital#c291392


Falls du noch Lust hast mir bei einer weiteren L'Hospital Aufgabe zu helfen ;)

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Also ist das soweit vollständig oder kann man noch irgendwas hinzufügen?

Man könnte vielleicht noch erwähnen, dass l'Hospital hier anwendbar ist. Ansonsten sollte das völlig ausreichen.

Kann mir jemand kurz nochmal erklären was beim Induktionsschritt gemacht wurde?

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