Aufgabe 42 (Der Satz von l'Hopital):
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{\frac{\pi}{2}-\arcsin x}{\sqrt{1-x}} \)
b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \sqrt[x]{1+\arctan x} \)
c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \quad(x \in \mathbb{R}) \)
d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+\cos x}{x} \)
Die ersten 2 Aufgabe habe ich schon gelöst, aber bei den hinteren 2 komm ich nicht weiter. Die 3. Aufgabe habe ich mit Hilfe der Exponentialfunktion umgeschriben: \( e^{n*ln(1+\frac{x}{n})} \)
Ich weiß, dass die Lösung \( e^x \) ist, also muss \( \lim ln(1+\frac{x}{n})n = x \) sein, aber wie komme ich da drauf?
Bei der 4. Aufgabe bin ich verunsichert, weil es sich in dieser Aufgabe eigentlich um L'Hospital handelt, aber ist dort der limes nicht einfach unendlich weil sin x + cos x gegen 1 geht bei x gegen 0?
