Grenzwert mit Hilfe von l'hospital berechnen: lim x+0 (1/sinx - 1/x)^x

Question

Aufgabe:

Grenzwert mit Hilfe von l'hospital berechnen:

\( \lim \limits_{x \to 0} (\frac{1}{sinx}-\frac{1}{x})^{x} \) 

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für die Lösung wäre:

\( \lim\limits_{x \to 0} \) \( e^(xln({(\frac{1}{sinx})-\frac{1}{x})  } \)

Hier könnte ich doch direkt für x 0 einsetzen und bekomme e^0, also 1 heraus, was auch die Lösung ist.

Ich hätte aber nicht l´hospital angewendet. Darf ich das überhaupt so machen, mit l´hospital weiter zu machen bringt mich zu keinem Ergebnis.

Answer 1

Die Intention des Aufgabenstellers war möglicherweise, die Differenz \(\frac{1}{sin(x)}-\frac{1}{x}\) in einen Quotienten  \(\frac{x-sin(x)}{x\cdot sin(x)}\) umzuwandeln, welcher die ungesunde Form "0/0" annimmt und deshalb unverzüglich ins Hospital geschickt werden muss.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Meine Lösung sieht so aus, das sollte korrekt sein, oder?

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So einfach ist die Geschichte nicht. Der Term 0⁰ ist unbestimmt. Es kommt wirklich darauf an, ob Basis und Exponent "gleich schnell" gegen 0 gehen oder nicht.

Der Grenzwert von x^x für x gegen 0 ist tatsächlich 1.

Lässt man jedoch bei konstanter Basis 0 die Potenz 0^x berechnen, so ist die für alle positiven  x≠0 garantiert 0, und es ist nicht einzusehen, dass  0^x für x=0 plötzlich auf den Wert 1 springen sollte.

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Danke nochmal für die ausführliche Antwort ! 

Mit der kleinen Anpassung sollte es klappen, hoffe ich :)

Mit freundlichen Grüßen