Prüfen auf Injektivität

Question

Unsere Dozentin meinte wenn x1= x2 dann liegt injektivität vor.

Ich nehme mal das Beispiel f(x) = x+1 

jetzt schaue ich ob x1=x2 ist .

Sie meinte das geht so :       x1+1=x2+1  |-1

x1 = x2    also ist f injektiv 

Ich versteh das aber nicht ganz. Dann müsste ja jede Funktion injektiv sein, Weil nach dem Prinzip kommt doch am Ende immer x1=x2 raus oder etwa nicht  ??????

Answer 1

Deine Dozentin hat dazu hoffentlich noch ein paar andere Sachen gesagt, denn so ist es viel zu verkürzt dargestellt. Z.B. ist unklar was x1 und x2 überhaupt sein sollen. und von irgendeiner Funktion oder Abbildung ist in dem Satz auch nicht die Rede.

Ein Beispiel für eine nicht- injektive Funktion ist : $$f: \mathbb Z \to N, x \mapsto x^2$$.

Aus $$x_1^2=f(x_1)=f(x_2)= x_2^2$$ folgt \(( x_1-x_2)(x_1+x_2)=0 \) aber nicht \( x_1=x_2\)

es ist z.B f(1)=f(-1)=1.

Answer 2

Unsere Dozentin meinte wenn aus f(x1) = f(x2) folgt, dass x1= x2 dann liegt injektivität vor.

Ich nehme mal das Beispiel f(x) = x+1  

jetzt schaue ich ob x1=x2 folgt, wenn ich f(x1) = f(x2) setze.

Sie meinte das geht so :

 f(x1) = x1+1 , f(x2) = x2 +1 

x1+1=x2+1  |-1

x1 = x2    also ist f injektiv  

Das ist korrekt. Denn es zeigt, dass die Annahme, dass 2 Funktionswerte gleich sind, nur erfüllt ist, wenn die Funktionswerte an der gleichen Stelle berechnet wurden. D.h. jeder Funktionswert hat ein eindeutiges Urbild. 

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Bitte sehr.