Vollständige Induktion mit Binomialkoeffizient und Resultat 3^n

Question

Aufgabe:

Mit vollständiger Induktion beweisen:

$$\sum_{k=0}^{ n }{ 2k\times (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} } )={ 3 }^{ n }\quad |\quad n \in \Nu_{0} $$

Ansatz:

Wo liegt mein Fehler, und wo ist mein Ansatz falsch oder wie kann ich weiter umformen?

Answer 1

beim Ind.schluss hast du richtig begonnen mit

summe bis n+1 über 2^k * ((n+1) über k) aber dann ist das

summe bis n  über 2^k * ((n+1) über k)  +   2 ⁿ⁺¹  * ( (n+1) über (n+1) )

Das n+1 IN DER SUMME bleibt mal erst . Aber  n+1 über k ist das

gleiche wie (n über k) + (n über k-1) , also hast du

summe bis n  über 2^k * ( (n über k) + (n über k-1) )  +   2 ⁿ⁺¹  * 1

dann machst du daraus zwei summen

= summe von 0 bis n  über 2^k *  (n über k) +

summe von 0 bis n  über 2^k *  (n über k-1) )  +       2 ⁿ⁺¹  

und jetzt den Index bei der 2. Summe ändern

= summe von 0 bis n  über 2^k *  (n über k) +

summe von -1 bis n-1  über 2^k+1 *  (n über k) )  +       2 ⁿ⁺¹
 
und weil ein bin.koeffizient mit -1 eine 0 gibt stört der 1. nicht.

= summe von 0 bis n  über 2^k *  (n über k) +

summe von 0 bis n-1  über 2^k+1 *  (n über k) )  +       2 ⁿ⁺¹   

Und in der 2. Summe und dem   2 n+1    je eine 2 ausklammern

gibt dann

= summe von 0 bis n  über 2^k *  (n über k) +

2 *  (   summe von 0 bis n-1  über 2^k *  (n über k) )  +       2^n  )
Dann hast du in der Klammer wieder die Summe bis n, weil der
letzte Summand eben das 2^n ist.

=   

= summe von 0 bis n  über 2^k *  (n über k) +

2 *  (   summe von 0 bis n-1  über 2^k *  (n über k) ) )

Und jetzt kommt endlich die Induktionsvoraussetzung

= 3^n + 2*3^n = 3*3^n = 3 ⁿ⁺¹  

Comments

>Bild hat sich nicht gedreht. Hoffe du kannst mir weiterhelfen aber danke schonmal (:

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https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Binomialkoeffizient:_Rechenregeln

und   summe k =0 bis n-1  über k wäre doch   0+1+2+34++...+(n-1)

  summe k =1 bis n über k-1  wäre dann   (1-1) +(2-1) +(3-1) +...+(n-1)

also das gleiche. Man muss dann nur IN der Summe k-1 statt k nehmen

bzw. k+1 wenn du den Index in die andere Rictung schiebst.