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Es sei \(n\in\mathbb N_0\) beliebig gewählt, wir zeigen mit vollsändiger Induktion über \(m\), dass gilt:$$\binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\cdots+\binom{n+m}{m}=\binom{n+m+1}{m}\quad;\quad n,m\in\mathbb N_0$$
Verankerung bei \(m=0\)$$\binom{n}{0}=1=\binom{n+0+1}{0}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(m\) auf \(m+1\):$$\phantom{=}\binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\cdots+\binom{n+m}{m}+\binom{n+(m+1)}{(m+1)}$$$$=\binom{n+m+1}{m}+\binom{n+(m+1)}{(m+1)}=\binom{n+m+2}{m+1}\quad\checkmark$$
Beim letzen Gleichheitszeichen gwurde die bekannte Rekursionvorschrift verwendet:$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$$
