σ2 für n= 2 die Formel herleiten

Question

Aufgabe:

Ich soll für σ^2 für n= 2 die Formel herleiten. Ich weiß, dass das Ergebnis 2*p*q sein muss. Nutze ich aber diese Tabelle, so komme ich nicht auf 2*p*q, sondern auf 2pq+4p^2-4p^2q^2-8p^3q-4p^4.

Tabelle

k	0	1	2
P(X=k)	q^2	2pq	p^2

Answer 1

Aloha :)

Die Gesamtwahrscheinlichkeit muss auf \(1\) normiert sein:$$1\stackrel!=p^2+2pq+q^2=(p+q)^2\quad\stackrel{(p,q\ge0)}{\implies}\quad p+q=1$$

Dieser Schritt fehlte dir vermutlich, denn damit gilt:$$\sigma^2=\left<k^2\right>-\left<k\right>^2=\left(0^2\cdot q^2+1^2\cdot2pq+2^2\cdot q^2\right)-(0\cdot q^2+1\cdot2pq+2\cdot q^2)^2$$$$\phantom{\sigma^2}=(2pq+4q^2)-(2pq+2q^2)^2=(2pq+4q^2)-(2q\underbrace{(p+q)}_{=1})^2$$$$\phantom{\sigma^2}=(2pq+4q^2)-(2q)^2=2pq+4q^2-4q^2=2pq$$