Auf M=ℕ×ℕ definieren wir eine Relation ~ durch (a,b)~(c,d)⇔a+d=b+c. Zeigen Sie: ~ ist eine Äquivalenzrelation auf M.

Question

Auf M = ℕ×ℕ definieren wir eine Relation ~ durch (a,b)~(c,d) ⇔ a+d=b+c.

Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation auf M ist!

Ich habe gerade extreme Schwierigkeiten, da ich nicht einmal weiß wie ich hier anfangen muss.

Ich kenne zwar die Bedingungen für eine Äquivalenzreaktion, weiß aber nicht wie ich diese hier anwenden muss.

Ich hoffe, ihr könnte mir hierbei etwas helfen.

Comments

Seien X = N x N und

r = {((a,b),(c,d)):a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, d ∈ N und a+d= b+c}

Zeigen Sie, dass r eine Äquivalenzrelation auf N x N ist.

[Interpretation: Die Äquivalenzklasse von (a,b) ∈ X bezüglich r repräsentiert die ganze Zahl "a-b".]

Answer 1

du zeigst einfach mittels der Definition die einzelnen Eigenschaften.

Beispiel: \(\sim \) ist reflexiv, da für alle \((a,b) \in M \) ja \(a+b=b+a\) ist.

Ausführlich: Wenn \(\sim\) reflexiv sein soll bedeutet dies, dass für alle \((a,b) \in M \) gelten soll, dass \((a,b) \sim (a,b) \) (das ist einfach nur die Definition aufgeschrieben). Aus der Definition der Relation wäre dies gleichbedeutend mit

$$ a+b = b+a $$

für alle natürlichen Zahlen \(a\) und \(b\). Dies gilt, da die Summe zweier nat. Zahlen kommutativ ist.

Gruß

Comments

Ich weiß aber nicht, wie ich die einzelnen Eigenschaften an meiner Relation nachweise.

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Du kannst damit anfangen dir erstmal aufzuschreiben, was es bedeuten würde wenn die Eigenschaft gilt (sprich die Definition!) und dann schaust du, ob dies tatsächlich stimmt. Die erste habe ich dir ja oben vorgemacht (habs um eine ausführliche Version erweitert) versuch dich mal an den restlichen zwei.