Sei R eine reflexive Relation auf M. Zeigen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation auf M mit: [x R z ∧ y R z => x R y].

Question

Ich habe ein Problem beim Lösen folgender Aufgabe.

Ich weiß, dass ich die gegebene Eigenschaft nutzen kann um Symmetrie usw. zu beweisen aber ich weiß nicht was ich aus der Eigenschaft nützliches machen kann.

Aufgabe:

Answer 1

Die Richtung ⇒ ist einfach. Wenn R eine Äquivalenzrelatiion ist, ist sie auch symmetrisch.

Damit folgt aus  yRz auch  zRy.

Somit folgt aus xRz∧ yRz zunächst  xRz∧ zRy , und weil eine Aquivalenzrelation transitiv ist, folgt daraus tatsächlich xRy.

Über die Rückrichtung  ⇐ muss ich noch nachdenken.

PS: Die ∧-Verknüpfung ist kommutativ.   xRz∧ yRz  ist also äquivalent zu  yRz∧ xRz.

Wenn für alle x,y,z gilt 

xRz∧ yRz  ⇒ xRy, so müsste aus der gleichen (nur kommutativ vertauschten Voraussetzung   yRz∧ xRz dann auch  yRx folgen, womit die Symmetrie gezeigt wäre?

Hier bin ich mir allerdings unsicher, weil ich die Eigenschaft "reflexive Relation" nicht verwendet habe.

Comments

Für den Nachweis der Symmetrie wird xRy vorausgesetzt, aber nicht die Existenz eines z so wie in deinem Versuch.

Richtig ist :  Wegen der vorausgesetzten Reflexivität gilt jedenfalls yRy, was zusammen mit xRy den Schluss auf yRx gestattet.

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Das verstehe ich nicht ganz.

Ich benutze die Reflexivität um sagen zu können, das yRy steht. Das verstehe ich.

Durch unsere gegebene Eigenschaft steht xRy. Verstehe ich auch.

Aber nun muss ich doch mit der Transitivität sagen können, dass [xRy ∧ yRy => ?yRx?]. Eigentlich hätte ich dann doch nur gezeigt, dass xRy steht.

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Achso, oder kann ich nun sagen mit dem Kommutativgesetz:

Sei R symmetrisch:

[yRx ∧ yRy => yRx] <=>  [yRy ∧ yRx  => yRx].