Zeigen Sie, dass eine reflexive Relation R ⊆ A × A euklidisch ist

Question

Aufgabe:

Eine binäre Relation R ⊆ A × A heißt euklidisch, falls gilt:

∀a,b,c ∈ A. (aRb ∧ aRc) ⇒ bRc.
Zeigen Sie, dass eine reflexive Relation R ⊆ A × A genau dann euklidisch ist, wenn R eine
Äquivalenzrelation ist.

Wie löse ich das am besten? Ich komme nicht weiter ^^

Answer 1

reflexive Relation R ⊆ A × A:

R Äquivalenzrelation <=>  R euklidisch.

"==>" Sei R Äquivalenzrelation ==>  R symmetrisch und R transitiv

Seien a,b,c ∈ A und aRb ∧ aRc.  Wegen sym. also auch bRa.

und aus bRa ∧ aRc folgt (wegen trans.) bRc.

"<=="   R euklidisch, also ∀a,b,c ∈ A. (aRb ∧ aRc) ⇒ bRc.

Seien a,b ∈A mit aRb .  Wegen "reflexiv" gilt  auch aRa.

Also (aRb ∧ aRa), wegen euklidisch also bRa, Somit ist R symm.

Seien a,b,c ∈ A. und (aRb ∧ bRc). Wegen symm. gilt auch bRa

also (bRa ∧ bRc) . Wegen euklidisch also aRc. Also R trans.

Answer 2

Nur die Richtung \(\Rightarrow\) ist interessant.

Als Erstes zeige ich die Symmetrie:

Wegen der vorausgesetzten Reflexivität gilt

aRa für alle a in A.

Sei nun aRb, dann gilt auch aRb und aRa.

R euklidisch liefert bRa.

Transitivität:

Sei aRb und bRc. Dann gilt wegen der Symmetrie auch

bRa und bRc und wegen der Euklidizität von R

ergibt sich aRc, q.e.d.