Laplacetransformation mit Sprungfunktion f(t)=(1/(t-ao))*Θ*(t-ao)

Question

Ich soll in der Aufgabe die Laplace Transformierte von f(t) mit der Sprungfunktion bestimmen.

Funktion:

f(t)=(1/(t-ao))*Θ*(t-ao)

Ich hatte in der Formelsammlung keine Transformierte gefunden, oder nimmt man die von der Sprungfunktion?

Comments

Wie kommst Du auf diese Funktion f(t)? Heißt es wirklich 1/(t-ao)? Ist "Θ(t-ao)" die Sprungfunktion? Oder ist "Θ" die Sprungfunktion? Soll das ao = a₀ sein?

Verzeih wenn ich soviel frage, aber davon hängt ab wie die Lösung der Aufgabe aussieht.

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also f(t) ist gegeben in der Aufgabe und ao ist das tiefgestellte ao.

Also 1/(t-ao) ist richtig und ich glaube θ*(t-ao) ist die verschobene Sprungfunktion.

Hilft es dir ein bisschen?

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Ich habe leider keine Lösung für Deine Aufgabe gefunden. Ich schreibe Dir aber mal auf, was ich herausgefunden habe. Vielleicht hilft Dir das etwas weiter:

\( f(x)=\frac{1}{t-a_{0}} \Theta\left(t-a_{0}\right) \)

Für Laplace-Transformation gilt:
\( \begin{array}{l} F(s)=\int \limits_{0}^{\infty} f(x) e^{-s t} d t= \\ =\int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{t-a_{0}} \Theta\left(t-a_{0}\right) e^{-s t} d t= \\ =\int \limits_{a_{0}}^{\infty} \frac{e^{-s t}}{t-a_{0}} d t \end{array} \)

Subs.: \( u=t-a_{0}, \quad t=u+a_{0}, \quad d t=d u \)
\( F(s)=e^{-s a_{0}} \cdot \int \limits_{a_{0}}^{\infty} \frac{e^{-s u}}{u} d u \)

Die Funktion im Integral ist nicht mehr elementar integrierbar und man müsste eine Reihendarstellung verwenden (s. Formelsammlung Integrale von e-Fkt.).

Vielleicht gibt es noch eine andere Möglichkeit (glaube ich nicht, aber wer weiß?), eine bessere Umformung, die kenne ich aber nicht.

Es wäre nett, wenn Du die Lösung, sobald Du eine hast, hier postest als Kommentar; mich interessiert wie man hier vorgeht bei der Aufgabe.

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Vielen Dank;)

Bis jetzt kenne ich niemanden der die Aufgabe lösen konnte.

Wir hatten die Aufgabe in einer Übungsklausur, aber bis jetzt konnten wir die noch nicht lösen.;)

Falls ich noch eine Lösung bekomme, stelle ich sie online.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung der Laplacetransformation mit Sprungfunktion

Die Laplacetransformation ist ein mächtiges Instrument in der Ingenieurwissenschaft und Mathematik zur Analyse linearer Systeme, besonders bei der Betrachtung von Zeitfunktionen und deren Überführung in den Frequenzbereich. Eine häufig auftretende Funktion in der Praxis ist die Sprungfunktion \( \Theta(t) \), welche für \( t < 0 \) den Wert 0 und für \( t \geq 0 \) den Wert 1 annimmt.

Wenn wir eine Funktion \( f(t) \) haben, die mit einer Verschiebung durch eine Sprungfunktion modifiziert wird, sieht sie typischerweise so aus:

\( f(t) = \frac{1}{t-a_0} \cdot \Theta(t-a_0) \)

Diese Funktion bedeutet, dass \( f(t) \) für \( t < a_0 \) gleich 0 ist und für \( t \geq a_0 \) als \( \frac{1}{t-a_0} \) existiert. Die Herausforderung liegt darin, die Laplacetransformation für eine solche Funktion zu finden.

Schritte zur Berechnung der Laplacetransformation

Die Laplacetransformation einer Funktion \( f(t) \) wird allgemein als \( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) dt \) definiert.

Für unsere spezielle Funktion lassen sich die Schritte wie folgt zusammenfassen:

1. Anpassung der Grenzen: Da die Funktion \( f(t) = \frac{1}{t-a_0} \cdot \Theta(t-a_0) \) für \( t < a_0 \) gleich 0 ist, beginnt die Integration nicht bei 0, sondern bei \( a_0 \).

Somit sieht die angepasste Laplacetransformationsformel aus wie:

\( F(s) = \int_{a_0}^{\infty} e^{-st} \frac{1}{t-a_0} dt \)

2. Lösen des Integrals: Dies kann kompliziert erscheinen, aber in diesem Fall können wir auf eine bekannte Laplacetransformation zurückgreifen, nämlich die der Funktion \( \frac{1}{t} \), welche \(\frac{1}{s}\) ist. Jedoch brauchen wir eine Variablensubstitution, um diese Form auf unser Problem anzuwenden.

Die Substitution \( \tau = t - a_0 \) umformt das Integral in:

\( F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-s(\tau+a_0)} \frac{1}{\tau} d\tau \)

Da \( e^{-sa_0} \) nicht von \( \tau \) abhängt, kann es vor das Integral gezogen werden:

\( F(s) = e^{-sa_0} \int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} \frac{1}{\tau} d\tau \)

Das verbleibende Integral ist die definitionsgemäße Laplacetransformierte von \( \frac{1}{\tau} \), welche \( \frac{1}{s} \) ist:

\( F(s) = e^{-sa_0} \cdot \frac{1}{s} \)

Endgültige Form der Laplacetransformierten

\( F(s) = \frac{e^{-sa_0}}{s} \)

Diese Formel gibt die Laplacetransformierte der Funktion \( f(t) = \frac{1}{t-a_0} \cdot \Theta(t-a_0) \) an und zeigt, wie die Sprungfunktion und die Verschiebung in \( t \) berücksichtigt werden können.