Berechnung des Grenzwertes mit Limes und Epsilon. lim_(n->oo) Σ_(k=1)^n 1/2^k

Question

Berechnen Sie die Grenzwerte:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 ^ { k } } $$

Ich habe hier eine Aufgabe zur Berechnung des Grenzwertes mit Limes und Epsilon. Ich kenne es gar nicht so, dass beides in einer Aufgabe vorhanden sind.

Hätte jemand eine Idee, wie der Anfangsansatz dieser Aufgabe wäre?

Answer 1

Das ist doch die geometrische Reihe mit q = 1/2 denn   ( 1/2)^k = 1 / 2^k
also ist die Summe

(1/2)   *     (     (1/2)^n     -   1 )  /    (   (1/2)  -   1  )  
=    1   -      (1/2)^n  
Und weil     (1/2)^n    gegen 0 geht, ist der GW =1

Brauchst du dazu noch einen Beweis mit Epsilon ?

Comments

Öh Wow danke muss ich erstmal gucken, wie du das gemacht hast :O Nein, da steht nichts von Beweis in der Aufgabe... Da steht halt nur Grenzwerte berechnen mehr nicht.

Aber ich versteh nicht ganz wie du auf die q = 1/2 kommst

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eine geometrische Reihe ist ja sowas:

q + q^2 + q^3 + q^4 + ....

und wenn du q=1/2 nimmst, hast du

genau die Reihe, die durch deine Summe beschrieben wird.

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Ahh okay. ja also ich wusste was eine geometrische Reihe ist aber ich hatte halt nicht verstanden, wie du sofort darauf gekommen bist mit einen Blick.

Muss ich das dann auch bei dieser Aufgabe so machen? 

e) \( \lim _ { m \rightarrow \infty } \sqrt [ m ] { 3 m ^ { 2 } } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { m ^ { 2 } } e ^ { - k } \)

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Musst etwas aufpassen, das q ist hier =  e^-1.

Allerdings geht die Summe ja nicht bis m sondern

bis m^2. Das musst du also auch in die Summenformel einsetzen.

Und dann mal schauen, wie du es mit dem Faktor vor der Summe

dann verrechnen kannst.

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Ach du heilige... Ich hab die eine Aufgabe ja gerade so verstanden. Mit viel Mühe. Da werde ich die nie im Leben schaffen. ^^

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Na ja, die Summe ist dann eben 

e ^-m*m-1 - e ^-1     und das dann mal  m-te Wurzel aus 3m^2

= ( e ^-m*m-1 - e ^-1   ) *  ( 3m^2) ^1/m         

= ( e ^-m*m-1 - e ^-1   ) *   ( ( 3m) ^1/m      )^2    

und für m gegen unedlich ist das

= ( 0 - e ^-1  ) *   1^2 

=  - e ^-1

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Machst du das alles im Kopf? Bist du ein Mathegenie? :D Wow... danke für die Arbeit aber ich denke, dass ist mir wirklich noch zu hoch, weil wir das wirklich gestern nur angekratzt haben.

Ich werde wirklich alles tun um das zu verstehen was du geschrieben hast :D

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Ich glaube, es geht dann bei euch nur darum, dass man sich

etwas mit geo. Reihen auskennt.

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Ja geometrische Reihen hatten wir vorherige Wochen und die Woche auch. Aber in der Aufgabe steht halt, dass man die Grenzwerte berechnen soll. Aber trotzdem danke. Rechne ich dir hoch an, dass du mir das ausgerechnet hast ^^ Ich müsste dich dafür bezahlen ^^