Wie beweist man das durch G ≅ G' (G und G' sind isomorph) eine Äquivalenzrelation erklärt wird?

Question

Hallo Community, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe,

Die Aufgabe lautet:

Sei X eine Menge von Gruppen. (Die Menge aller Gruppen existiert nicht). Zeige, dass durch

G ≅ G' <=> G und G' sind isomorph

eine Äquivalenzrelation auf X erklärt wird.

Ich weiß, dass ich die Reflexivität, die Symmetrie und die Transitivität zeigen muss, damit die Verknüpfung eine Äquivalenzrelation sein kann.

Also ich hab es so probiert:

Reflexivität:
Jede Gruppe kann zu sich selbst in Relation stehen → Reflexiv. (Stimmt das überhaupt, und wie kann man das mathematisch besser formulieren? Ist das Überhaupt ausreichend oder wie würde ein richtige Beweis davon aussehen?)

Symmetrie:

zz. G' ≅ G

X^-1 : (a o b) = X^-1(X(X^-1(a) o (X(X^-1(b)) = … = X^-1 (a) o X^-1 (b) (Mit dieser Umformung hab ich bewiesen das die Umkehrfunktion zumindest ein Homomorphismus darstellt. Aber reicht sie auch aus um sagen das die G' ≅ G und somit die Symmetrie beweist?)

Transitivität:

zz. G ≅ G' ≅ G'' => G ≅ G'' (Bei diesen Teil bin ich nur bis zur Definition gekommen. Was muss tun damit ich auch diesen Teil der Aufgabe lösen kann? Also wie muss mein Beweis aussehen sofern meine Annahme überhaupt richtig ist?)

Ein großes Danke schon mal im Vorhinein!! ;)

Answer 1

Hallo Wagner,

Reflexivität und Symmetrie geht eigentlich sofort aus der Definition eines Isomorphismus hervor.

Für die Transitivität: Überlege dir, ob die Verkettung zweier Isomorphismen wieder ein Isomorphismus ist.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

Danke für Antwort :)

Aus welcher Eigenschaft genau ließt man die Symmetrie und Reflexivität ab? Kann du mir das bitte genau erklären. Mit der Transitivität hast du das damit gemeint: h: (G → G') o f:(R → R') oder wie?

Gruß

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Aus welcher Eigenschaft genau ließt man die Symmetrie und Reflexivität ab?

Direkt ablesen ist ein wenig übertrieben aber: Da kann ich im Grunde nur auf die Antwort vom Gast hh4100 verweisen der kurz und effektiv den Beweis auf den Punkt gebracht hat. Bevor du dich an die Aufgabe ranwagst solltest du dir klar machen wann 2 Gruppen isomorph sind.

Keine Ahnung was du mit h: (G → G') o f:(R → R') meinst. Was soll R sein?

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Mit R wollte ich eigentlich nur eine anderes f:G → G darstellen. Aber um ehrlich zu sein, ich hab fast keine Ahnung von dem ganzen Thema. Ich glaub, ich schau mir nochmal die Definition an und versuche es dann nochmal zu lösen. Aber trotzdem Danke für deine Hilfe :)

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Das würde ich dir schleunigst raten ;). Ohne Basics wird es später sehr schwer auch nur irgendeinen Beweis zu verstehen.

Answer 2

Jede Gruppe ist mittels der Identität zu sich selbst isomorph.

Ist \( G \cong G' \) mit der Isomorphie f so ist \( G' \cong G\) mit der Isomorphie \( f^{-1} \)

Ist \( G \cong H \) mittels g und \( H \cong L \) mittels h,so ist \( G \cong L \) mittels \( h \circ g\). 

Comments

Das ist der für die Transitivität oder? :) Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher: ;)

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Das ist der komplette Beweis. In wie fern Details noch ausgearbeitet werden müssen hängt davon ab was in der vorlesung und Übung bererits bewiesen wurde.

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Wie der ganze Beweis für was stehen dann H ≅ L mit der Verknüpfung h o q.  Irgendwie kann ich dir nicht ganz Folgen :|

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ich kann deinem Kommentar leider auch nicht folgen. Im ersten Satz scheinen Worte zu fehlen.

\( h \circ g \) (keine Ahnung wo dein q herkommt) ist keine Verknüpfung das ist ein Isomorphismus, also eine Abbildung. 

H und L sind Gruppen.

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Ok Sorry, Ich hätte mich vielleicht etwas genauer ausdrücken sollen. Eigentlich wollte ich nur wissen in welchen Zusammenhang H und L zu G und G' stehen und was die Verknüpfung h o g in diesen Kontext aussagt. (Ps: ich hätte meinen Kommentar nochmal durchlesen sollen :P)