- reflexiv: Für a € Z gilt a-6a = -5a = 5 * (-1) und somit a≅a.
erste Frage: Fehlt hier nicht noch irgendwas? das a? und wieso hätte ich dann a≅a. gezeigt? weil 5 die 5*(-1)a teilt?
Du willst a≅a für alle \( a\in\mathbb Z\) zeigen.
sei also a eine beliebige ganze Zahl
a≅a gilt per Definition genau dann wenn 5 ein Teiler von a-6a=-5a = 5*(-a). (Hier ist ein Fehler bei dir. -a statt -1)
Das ist wohl der Fall.
symmetrisch: Seien a,b € Z mit a≅b, d.h. ∃k € Z mit 5k = a-6b. (Bis hier hin versehe ich es. Damit 5 es ja 5k teilen kann)
Du willst hier zeigen wenn a≅b dann gilt auch b≅a. Also dass wenn 5 | a-6b, dass dann auch 6 | b - 6a
Seien a,b € Z mit a≅b, d.h. ∃k € Z mit 5k = a-6b. Wenn das bis dahin klar ist, gut.
Dann gilt: b - 6a = -(a-6b) -5a -5b = 5 (-k-a-b)
Dass man b-6a annimmt.
Die Formulierung verstehe ich nicht. Hier wird nichts angenommen. Du musst zeigen dass dieser Term durch 5 teilbar ist
Aber alles danach, also das -(a-6b) -5a -5b verstehe ich nicht. Wie kommt man darauf?
Nun ja, Genau ist ja das schwierige an Beweisen: Dass man darauf erst einmal kommen muss.
Du weißt ja nach Annahme, dass a-6b durch 5 teilbar ist. Wenn wir dazu jetzt durch 5 teilbare Zahlen addieren bleibt das auch so:
a-6b + 5a - 6b = 6a-b
Ist also auch durch 5 teilbar. Wenn wir das mit -1 multiplizieren bleibt es durch 5 teilbar. Somit ist auch b-6a durch 5 teilbar. Und das war zu zeigen.
a-6c = (a-6b) + (b-6c) +5b = 5k + 5l +5b = 5 (k+l+b) und somit a≅c.
Wie komme ich wieder auf den dick markierten Teil?
Du weißt nach Annahme, dass a-6b und b-6c durch 5 teilbar sind. Möchtest zeigen, dass dann auch a-6c durch 5 teilbar ist
Was mache ich denn da, um das so umzuwandeln?
Jetzt fügt man geschickt eine 0 ein (wirklich elementares Beweis-Handwerkszeug, bei Produkten fügt man gelegentlich 1er hinzu)
a-6c = a-6c +(-6b + 1b +5b)
Um die Teilbarkeit von a-6c mit der Teilbarkeit von a-6b und b-6c zu "verknüpfen" bzw. halt mit den Annahmen arbeiten zu können.
Umgeformt dann eben was oben steht: a-6c = (a-6b) + (b-6c) + 5b
Das ist eine Summe in der jeder Summand durch 5 teilbar ist, also ist auch a-6c durch 5 teilbar. Und das war zu zeigen.
Und woher weiß ich, dass ich die blauen Terme addieren muss?
Es gibt keinen (einfachen) Algorithmus wie man Dinge beweist. Vieles beim Beweisen hat mit Erfahrung zu tun. Du wirst vermutlich öfters Beweise sehe bei denen man in Summe geschickt 0er und in Produkten 1er hinzufügt. Irgendwann verinnerlicht man diese Tricks und wendet sie dann selbstständig an.
