Beweisen ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist

Question

Hallo Leute,

Ich bräuchte eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Ich muss dazu beweisen, ob folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist.

R = {(a, b) ∈ Z × Z | ∃z ∈ Z : a − b = z · p}, für ein festes p ∈ N

Ich bin irgendwie verwirrt. Ich weiß, das man ja Reflexivität, Symetrie und Transivität nachweisen muss.

Aber ich weiß nicht, wie ich das mit den zusätzlichen Variablen z und p machen machen muss.

Answer 1

∃z ∈ Z : a − b = z · p, für ein festes p ∈ N

reflexiv:  Also für alle a∈ℤ : ∃z ∈ Z : a − b = z · p, für ein festes p ∈ N

                                                       geht mit z=0

symm. aRb ==> bRa

       ∃z ∈ Z : a − b = z · p, für ein festes p ∈ N

==>   ∃z1 ∈ Z : b − a = z1 · p, für ein festes p ∈ N
                                              geht mit z1=-z

trans. ∃z1 ∈ Z : a − b = z1· p
         und ∃z2 ∈ Z : b − c = z2 · p, für ein festes p ∈ N

==>   a-c =  z1· p - z2 · p = (z1-z2) · p

==>   aRc weil  z1-z2 dann auch aus Z ist.