Wie zeige ich, dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist?

Question

Aufgabe:

Wie zeige ich, dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist?

Problem/Ansatz:

\( m \equiv n \quad: \Leftrightarrow \quad \bigvee_{i, j \in \mathbb{N}} m+3 i=n+3 j \)

für \( m, n \in \mathbb{N} \) definiert.

Answer 1

1. reflexiv: Sei m ∈ ℕ. ==>  m≡m, denn es gibt i und j (z.B. beide gleich 1)

mit m+3*1 = m+3*1.

2. symmetrisch: Wenn es zu n und m zwei Zahlen i und j gibt

mit m+3i = n+3j dann gibt es auch i' und j' ( nämlich i'=j

und j'=i mit  n+3i' = m+3j' .

3. transitiv: Sei n≡m und m≡r

==> Es gibt i,j,i',j' mit

n+3i = m+3j #  und   m+3i' = r+3j' ##

Es ist zu zeigen, dass dann auch  n≡r gilt ,

also dass es i'' und j'' gibt mit n+3i'' = r + 3j''

und die gibt es, nämlich mit i''=i+i' und j''=j+j'

hast du

n+3(i+i')=n+3i + 3i'  wegen # also

= m+3j + 3i'

= m + 3i' + 3j  wegen ##

= r + 3j' + 3j

= r + 3(j'+j)

= r+3j''           .