Finde einen Gruppenisomorphismus von Gi in eine Untergruppe von G

Question

bitte um Hilfe bei:

Voraussetzung:

Seien n ∈ N und G1,...,Gn Gruppen, jeweils mit Verknüpfung · . Sei G  (geschwungenes G) das externe direkte Produkt von G1,...,Gn mit Verknüpfung ◦.

Aufgabe:

Finden Sie für jedes i ∈ {1,...,n} einen Gruppenisomorphismus αi von Gi auf eine geeignete Untergruppe von G(geschwungen G).

Meine Idee ist die folgende:

Ich behaupte das αi : Gi→Hi, (Hi :=(1_G1,...,hi, .... ,1_Gn)mit hi Element Hi ; Hi eine Untergruppe von geschwungen G) für jedes i ∈ {1,...,n} mit gi^αi=(1_G1,...,hi, .... ,1_Gn) einen Gruppenisomorphismus ergibt.

Zeige als erstes die Homomorphieeigenschaft:

Seien ai, bi ∈ Gi. Dann ist (a•b)^αi=(1_G1,...,ai•bi, .... ,1_Gn) =(1_G1,...,ai, ... ,1_Gn)(1_G1,...,bi, ... ,1_Gn)= a^αi•b^αi . Damit müsste αi ein Gruppenhomomorphismus sein.

Zeige nun Injektivität: Seien a, b ∈ Gi so, dass ai^αi=bi^αi. Dann folgt daraus

(1_G1,...,ai, ... ,1_Gn) = (1_G1,...,bi, ... ,1_Gn). Es ist 1_G1=1_G1,..., 1_Gn=1_Gn und auch ai=bi.

Surjektivität: Es ist (1_G1,...,1_Gi-1,gi,1_Gi+1 ... ,1_Gn) mit gi ∈Gi ein mögliches Urbild von Gi.

Meine Fragen wären ob das so alles stimmt und müsste ich nachweisen das Hi eine Untergruppe von geschwungen G ist? Das man einen Gruppenisomorphismus αi für ein beliebiges  i ∈ {1,...,n} in eine Untergruppe von geschwungen G finden soll bringt mich durcheinander. Vorallem ist mir nicht genau klar ob ich mich bei der Untergruppe von geschwungen G dann in einer Untergruppe befinde, die aus Gruppen besteht , oder ob das dann nur Elemente sind...

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.