Induktionsschritt bei Reihenungleichung mit harmonischer Reihe

Question

Beweise

$$ \sum_{k=1}^{N}{1/k}\leq1+logN $$ für jedes N in den natürlichen Zahlen mit N grösser gleich 1.

a.)

Zeige per vollständige Induktion, dass

$$exp(\frac { 1 }{ 2 }+.....+\frac { 1 }{ N } )\leq N$$ für jedes $$N \geq 2$$

Um den Induktionsschritt auszuführen beweise man:

$$exp(\frac { 1}{ N+1 })\leq1+\frac { 1 }{ N }$$

b.) Schliesse dann mit dem Resultat von a.) auf die Ungleichung für

$$\sum_{k=1}^{N}{\frac { 1 }{ k }}$$

Ich komme beim Induktionsschritt nicht weiter,kann mir jemand dabei helfen'?

Answer 1

Ist zwar anders gelöst, geht aber auch

http://www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/~jukna/BUCH/kap6c.pdf

Comments

Hi, es geht auch anders. Bertachte die Funktion \( f(x) = \log(x)-\left( 1-\frac{1}{x} \right) \)
Es gilt \( f(1) = 0 \). Außerdem gilt \( f'(x) = \frac{x-1}{x^2} \) D.h.ein Extremwert liegt bei \( x = 1 \) vor. Über die zweite Ableitung kann man zeigen, dass bei \( x = 1 \) ein Minimum vorliegt. D.h. es gilt \( f(x) \ge 0 \), also \( \log(x) \ge 1-\frac{1}{x} \).
Setze jetzt \( x = 1+\frac{1}{y} \) dann folgt \( \log\left( 1+\frac{1}{y} \right) \ge \frac{1}{1+y} \) oder
$$ 1+\frac{1}{y} \ge e^{\frac{1}{1+y}} $$ für \( y = N \) ist das die zu beweisende Behauptung.

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Danke für deine Hilfe, muss es aber auf die Art wie angegeben lösen.

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Hi,
ich denke das das gezeigt wurde. Ich habe gezeigt, dass $$ e^{\frac{1}{N+1}} \le 1 + \frac{1}{N} $$ gilt.

Die Induktionsvoraussetzung sagt das gilt
$$ \sum_{k=2}^{N} \frac{1}{k} \le \log(N) $$
Zu zeigen ist das gilt, $$ \sum_{k=2}^{N+1} \frac{1}{k} \le \log(N+1) $$ oder
$$ e^{\sum_{k=2}^{N+1} \frac{1}{k}} \le N+1 $$
Wegen der IV muss man jetzt zeigen das gilt
$$ e^{\frac{1}{N+1}} \le 1+\frac{1}{N} $$ und das habe ich gezeigt.

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Ja stimmt aber mit Ableitung und diese dürfen wir nicht gebrauchen, weil wir sie noch nicht als Thema gehabt haben. Aber danke für deine Mühe :)

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Was darfst Du denn gebrauchen? Im Hinweis ist ja aufgeschrieben, was Du beweisen sollst. Sind Potenzreihen erlaubt?

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Mit exponentialreihen darf ich bzw. muss ich wahrscheinlich.