Reicht es bei einem Beweis ein Beispiel zu zeigen, falls dort steht "es existiert eine Abb. mit einer Eigenschaft..."?

Question

Die Aufgabe lautet:

Es seien X und Y endliche Mengen. Zeigen Sie:

|X| ≤ |Y| ⇔ Es existiert eine injektive Abbildung f: X → Y.

Um von der linken auf die rechte Seite zu schließen, dachte ich mir, dass es reicht, lediglich EIN Beispiel für eine injektive Abbildung zu zeigen, da laut Aufgabe ja nur gefordert ist zu zeigen, dass EINE injektive Abbildung mit gegebener Eigenschaft existiert.

Für die Rückrichtung habe ich leider gar keine Idee, wie man von einer injektiven Abbildung auf die linke Seite schließen soll.

Meine hauptsächliche Frage: Reicht es hier, ein Beispiel zu zeigen, um die Richtung von links nach rechts nachzuweisen?

Ich habe als Beispiel geschrieben X = {1,2} ⇒ |X| = 2 und Y = {4,5,6} ⇒ |Y| = 3.

Dann ist eine injektive Abbildung f: X → Y bspw.:  1 ↦ 4, 2 ↦ 5 oder nicht?

Answer 1

Vor dem "es existiert" steht aber eigentlich noch ein Allquantor: Es seien X, Y (beliebige) endliche Mengen mit |X|<=|Y|. Eine solche Aussage geht nicht per positivem Beispiel. Dazu muessten auch die Mengen X,Y konkret gegeben sein.

Comments

Wie kann man das denn allgemein zeigen?

Unser Professor hat mit uns solche Fälle noch gar nicht besprochen, setzt aber voraus, dass wir es auf seinem Übungsblatt schon können, weshalb ich gar keine Idee habe...

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Typischerweise soll man die Uebungsaufgaben gerade mit den Mitteln loesen, die in den letzten paar Vorlesungsstunden behandelt wurden. Ich glaube nicht, dass da nichts zu dran war.

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Das Problem ist, dass sein "Assistent" die Aufgaben erstellt und teilweise im Voraus Aufgaben stellt, die sich auf Vorlesungen beziehen, die noch gar nicht stattgefunden haben.

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Hmm ist ein wenig eigenständiges Nachdenken zu viel verlangt von Studenten?

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Nein ist es nicht und ich zerbreche mir den ganzen Tag schon den Kopf bei dieser Aufgabe und ich komme einfach auf keinen Anfang/Ansatz/Idee....

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Wenn \(|X|=n\), dann ist \(X\sim\{1,2,3,\ldots n\}\). Man kann also schreiben \(X=\{x_1,x_2,x_3,\ldots, x_n\}\). Das sollte als Tipp reichen.