Welche Formel um Koordinaten eines Punkts in Dreieck zu finden

Question

Gesucht ist eine Formel, um die Koordinaten (x/y) des Punktes p welches sich in einem Dreieck befindet herauszufinden.

Gegeben:
- Ein Dreieck (Koordinaten aller Eckpunkte sind bekannt).
- Die Abstände des Punktes zu den einzelnen Eckpunkten.

Ergänzende Frage: Ich bin mir nicht sicher ob das Dreieck besondere Kriterien (gleich schenklig,...) erfüllen muss damit die Aufgabe lösbar ist.

Comments

die erste Lösung - wahrscheinlich nicht die einfachste - die mir dazu einfällt ist:

3 Kreisgleichungen mit den jeweiligen Abständen als Radius um den jeweiligen Eckpunkt aufstellen.

2 Kreisgleichungen gleichsetzen. Es kann 0,1 oder 2 Lösungen geben. Falls es 0 gibt, gibt es den gesuchten Punkt nicht. Bei 1 liegt er auf der Seite, die die Punkte verbindet. Falls es 2 gibt, muss mit der 3. Kreisgleichung geprüft werden, welche Lösung stimmt.

Gruß

---

Danke für die Hilfe,
Kreisgleichungen muss ich mir erstmal ansehen um zu verstehen was du geschrieben hast.

---

Wie schon unten kommentiert. Die Lösung von Wolfgang ist leichter und besser zu erklären. Einfach Punkt Punkt Abstand mit Hilfe von Pythagoras im n-Dimensionalen Raum. Er hat es für n = 3 dargestellt. Du brauchst ja nur n = 2.

Aus dem Bauch heraus würde ich jedoch sagen, dass es im Endeffekt auf das gleiche hinausläuft. Du hast im 2D Raum eben 0-2 Lösungen bei quadratischen Gleichungen. Er hat das ja für 3D ähnlich beschrieben.

Answer 1

Gegeben: 
- Ein Dreieck (Koordinaten aller Eckpunkte sind bekannt): A,B, C 
- Die Abstände des Punktes zu den einzelnen Eckpunkten: d_A , d_B , d_C 

Der Punkt P muss folgende Gleichungen erfüllen:

(a₁ - p₁)² + (a₂ - p₂)² + (a₃ - p₃)²  =  d_A

(b₁ - p₁)² + (b₂ - p₂)² + (b₃ - p₃)²  =  d_B 

(c₁ - p₁)² + (c₂ - p₂)² + (c₃ - p₃)²  =  d_C 

mit den drei Unbekannten  p₁, p₂ und p₃ 

Da hier drei Kugeloberflächen einen gemeinsamen Punkt haben müssen, ist eine Lösung nicht gesichert. 

Hat man eine solche ggf. berechnet, muss man noch prüfen, ob P in der Ebene ABC liegt.

Wenn nicht, gibt es zwei Lösungen für P außerhalb des Dreiecks.

Gruß Wolfgang

 

Comments

Hallo und danke für die Hilfe,
ich bin etwas wegen dem a3/b3/c3 verwirrt. Es handelt sich hier um einen 2D Problem (deswegen hatte ich x und y in klammern geschrieben bzw. z ausgelassen) wurde ich missverstanden oder hab ich die Antwort falsch verstanden weil ich inzwischen zulange dran sitze und nicht mehr richtig denken kann.  

---

Im 2D Fall sind einfach alle ₃-Koordinaten = 0 und fallen einfach weg, also einfach nur:

(a₁ - p₁)² + (a₂ - p₂)²  =  d_A² usw.

Ich glaube Wolfgang hat die Quadrate über den Abstanden vergessen.

Btw. die Lösung ist defintiv leichter als mein Vorschlag :-).

---

Vielen dank das bringt mich um einiges weiter