R-Vektorraum. Welche Gleichungen sind für alle x;y;z∈V definiert und korrekt? 21*(x+y+z)=21*x+21*y+21*z, (2*z)^2 = 4*z^2

Question

Kann mir jemand bei den angegebenen Beispielaufgaben helfen?

Sei (V;+; *) ein R-Vektorraum. Welche der folgenden Gleichungen sind
für alle x; y; z ∈ V definiert und korrekt?

e) 21 * (x + y + z) = 21* x + 21* y + 21* z

f) (2*z)² = 4*z²

Kann mir jemand bei diesen beiden Aufgaben helfen?  Die restlichen Aufgaben werde ich alleine lösen...

e) 21 * (x + y + z) = 21* x + 21* y + 21* z , dass gilt, aber wie zeige ich es?

Comments

Bitte lesbar posten - siehe Hinweise zur Eingabe mathematischer Zeichenfolgen hier im Forum

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Was ist an dem Post nicht verständlich?

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Das Einzige, was ich bemängeln würde, ist die aktuelle Überschrift "

Kann mir jemand bei den angegebenen Beispielaufgaben helfen?"

, die keine Hinweise auf Thema und Stufe der Frage enthält. Das gibt unnötig Arbeit für allfällige freiwillige Helfer.

EDIT: Geändert.

Answer 1

Ich benutze - wegen der besseren Verständlichkeit -

*   für  Vektor * Vektor

•   für  Zahl • Vektor und reelle Multiplikation

e)

In V gelten Assoziativgesetz (+) und das Distributivgesetz:

λ • (\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\))  =  λ • \(\vec{a}\) + λ •  \(\vec{b}\)    für alle λ∈ℝ  und  \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) ∈ V

also: 

 21 * (x + y + z)  =_AG   21 * [ (x + y) + z ] 

=_DG   21 * (x + y) + 21 * z  =_DG   21* x + 21* y + 21* z

f) Die Gleichung wäre nur dann definiert, wenn V ein "euklidischer" Vektorraum - also ein Vektorraum mit Skalarprodukt -  wäre, was in der Aufgabe nicht vorgegeben ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Kannst du mir nocheinmal bei dieser Aufgabe helfen?

l) 2 + x = x + 2

Wie soll ich das denn beweisen?  Die Aussage wirkt so trivial, aber es würde sich um die Kommutativität der Addition zwischen einem Skalar und Vektor handeln, keine Ahnung wie man so etwas beweist.

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wenn x eine Zahl ist, ist die Sache wohl klar.

Eine Addition zwischen Zahl und Vektor gibt es nur in V = (R, + , •)  wo  die reellen Zahlen gleichzeitig die Vektoren und die Skalare und +,•  aus ℝ  sowohl die reelle Multiplikation als auch die Körperverküpfungen darstellen.

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@Wolfgang: Was soll denn allgemein das Produkt zweier Vektoren in einem VR sein?

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Du hast recht, gibt es natürlich nur, wenn ein Skalarprodukt definiert ist, steht in der Aufgabe nicht drin.

Danke für den Hinweis.

Also Gleichungen nicht definiert, wenn "Vektor * Vektor" vorkommt.

f) entsprechend editiert