beweisen sie sinx+siny=2sin (x+y)/2 cos (x+y)/2
Das war bestimmt so:
beweisen sie sinx+siny=2 * sin ( (x+y)/2 ) * cos ((x - y)/2) also minus beim cos.
Da brauchst du die Additionstheoreme, also erst mal
sin ( (x+y)/2 ) * cos ((x - y)/2) = sin ( x/2 + y/2 ) * cos ( x/2 - y/2 )
= ( sin(x/2)*cos(y/2) + cos(x/2) *sin(y/2) ) * ( cos(x/2)*cos(y2) + sin(x/2)*sin(y/2) )
= sin(x/2)*cos(x/2)*cos^2(y/2) + cos^2 (x/2) *sin(y/2)*cos(y/2)
+ sin^2(x/2)cos(y/2)*sin(y/2) + sin(x/2)*sin^2(y/2)cos(x/2)
Jetzt etwas umordnen und ausklammern gibt
= sin(x/2)*cos(x/2)*cos^2(y/2) + sin(x/2)*sin^2(y/2)cos(x/2)
+ cos^2 (x/2) *sin(y/2)*cos(y/2) + sin^2(x/2)cos(y/2)*sin(y/2)
= sin(x/2)*cos(x/2) * (cos^2(y/2) + sin^2(y/2) )
+ sin(y/2)*cos(y/2) * ( cos^2 (x/2) * + sin^2(x/2) )
und in den Klammern steht ja jetzt immer 1 also
= sin(x/2)*cos(x/2) + sin(y/2)*cos(y/2)
So jetzt mal zur ursprünglichen Gleichungzurück, da stand ja noch eine 2 vor.
also 2 * sin ( (x+y)/2 ) * cos ((x - y)/2)
= 2 * ( sin(x/2)*cos(x/2) + sin(y/2)*cos(y/2) )
= 2 * sin(x/2)*cos(x/2) + 2 * sin(y/2)*cos(y/2)
= sin(x/2)*cos(x/2) + sin(x/2)*cos(x/2) + sin(y/2)*cos(y/2) + sin(y/2)*cos(y/2)
= sin ( x/2 + x/2) + sin ( y/2 + y/2 )
= sin (x) + sin (y)