beweis mit eulerscher formel

Question

beweisen sie sinx+siny=2sin (x+y)/2 cos (x+y)/2

bis hierhin bin ich gekommen :

1/2j (e^jx/2+y/2 - e^-jx/2+y/2)*(e^jx/2+y/2 + e^-jx/2+y/2)

komme hier leider nicht mehr weiter. es ist auch der letzte schritt bevor es so aussieht :

1/2j(e^jx-e^-jy + e^jy +-e^-jx)

Comments

beweisen sie sinx+siny=2sin (x+y)/2 cos (x-y)/2

das x+y ist ein x-y ganz hinten

1/2j (e^jx/2+y/2 - e^-jx/2+y/2)*(e^jx/2-y/2 + e^-jx/2-y/2) lautet der richtige schritt

Answer 1

beweisen sie sinx+siny=2sin (x+y)/2 cos (x+y)/2

Das war bestimmt so:

beweisen sie sinx+siny=2 * sin ( (x+y)/2 ) * cos ((x - y)/2)    also minus beim cos.

Da brauchst du  die Additionstheoreme, also erst mal

sin ( (x+y)/2 ) * cos ((x - y)/2)  = sin ( x/2  +   y/2 )  *   cos ( x/2   -   y/2  )

= (  sin(x/2)*cos(y/2)  +   cos(x/2) *sin(y/2)  ) *  ( cos(x/2)*cos(y2)  + sin(x/2)*sin(y/2) )

= sin(x/2)*cos(x/2)*cos²(y/2)  +   cos² (x/2) *sin(y/2)*cos(y/2)
                               + sin²(x/2)cos(y/2)*sin(y/2)  + sin(x/2)*sin²(y/2)cos(x/2)

Jetzt etwas umordnen und ausklammern gibt

= sin(x/2)*cos(x/2)*cos²(y/2) + sin(x/2)*sin²(y/2)cos(x/2) 
           +   cos² (x/2) *sin(y/2)*cos(y/2)    + sin²(x/2)cos(y/2)*sin(y/2)

=   sin(x/2)*cos(x/2) * (cos²(y/2) + sin²(y/2)  )
          +   sin(y/2)*cos(y/2) * ( cos² (x/2) *   + sin²(x/2)  ) 

und in den Klammern steht ja jetzt immer 1 also

=     sin(x/2)*cos(x/2)  +   sin(y/2)*cos(y/2)  

So jetzt mal zur ursprünglichen Gleichungzurück, da stand ja noch eine 2 vor.

also   2 * sin ( (x+y)/2 ) * cos ((x - y)/2)   

= 2 * (     sin(x/2)*cos(x/2)  +   sin(y/2)*cos(y/2)    )

= 2 * sin(x/2)*cos(x/2)  +   2 * sin(y/2)*cos(y/2)  

=  sin(x/2)*cos(x/2)  + sin(x/2)*cos(x/2)  + sin(y/2)*cos(y/2)  + sin(y/2)*cos(y/2)  

= sin ( x/2 + x/2)                                             + sin (   y/2 + y/2 )

=  sin (x)                                    +   sin (y)